Disequazione non elementare

[cecco....]

devo risolvere la seguente disequazione:
2sen al quadrato di x-(2-radice di 3)senx-radice di 3 il tutto minore o uguale a 0
la risoluzione secondo me dovrebbe essere questa:
pongo senx=t e la risolvo come una semplice equazione di secondo grado ma nn mi esce...grazie

[BIT5]

Una volta risolta l'equazione di secondo grado in t devi stare attento allo studio delle soluzioni..

A me vengono come soluzioni in t

[math] t_1= \frac{2- \sqrt3 + \sqrt{7 + 4 \sqrt3}}{4} [/math]

[math] t_2= \frac{2- \sqrt3 - \sqrt{7 + 4 \sqrt3}}{4} [/math]

Finisse qui, le soluzioni sarebbero i valori compresi.

Ma il seno, essendo periodico, lavora in maniera differente.

Infatti se abbiamo

[math] \sin x > 0 [/math]

per sostituzione avremmo

[math] t>0 [/math]

Ma le soluzioni, in verita', sarebbero

[math] 0 < x < \pi [/math]

Quindi devi studiare fattore per fattore.

L'equazione associata, trovati i valori, puoi dunque riscriverla come

[math] (\sin x - \frac{2- \sqrt3 + \sqrt{7 + 4 \sqrt3}}{4})( \sin x - \frac{2- \sqrt3 - \sqrt{7 + 4 \sqrt3}}{4} )[/math]

Quindi ne studi fattore per fattore.

Pero' prima di dovresti dire se il testo e' corretto (ovvero:

[math] 2 \sin^2 x - (2- \sqrt3) \sin x - \sqrt3 \le 0 [/math]

E se quindi avete fatto l'arcoseno..

[cecco....]

il testo è corretto e anche a me usciva così ma mi sembra strano perchè sul libro da il seguente risultato:
-pigreco/3+2kpigreco

[BIT5]

Ahhhhhhhh
Ecco come farlo...

Esegui la moltiplicazione

[math] 2t^2-2t+ \sqrt3 t - \sqrt3 [/math]

Raccogli a fattore parziale

[math] 2t(t-1)+ \sqrt3 (t-1) = ( 2t + \sqrt3)(t-1) [/math]

E quindi

[math] (2 \sin x + \sqrt3 )( \sin x - 1) \le 0[/math]

Il secondo fattore sara'

(studiamo fattore per fattore)

[math] \sin x \ge 1 \to x = \frac{ \pi}{2} [/math]

Il secondo

[math] \sin x \ge - \frac{ \sqrt3}{2} \to 0 \le x \le \frac43 \pi \ U \ \frac53 \pi \le x \le 2 \pi [/math]

(ometto i periodi che altrimenti non finisco piu')

Quindi se studi i segni (sulla circonferenza goniometrica) avrai per il secondo fattore tutta la linea tratteggiata e per il primo la linea continua (positivita') nell'intervallo di sopra che corrisponde anche alla soluzione.

Per non spaccare l'intervallo il tuo testo, al posto di partire da 0 e fare un giro completo dino a 2pigreco, parte (giustamente) da -pigreco/3. Tanto il periodo serve proprio a questo :D