Disequazione mista

[marione111]

Salve non riesco a trovarmi con questa disequazione, non capisco dove sbaglio

$ log |sin x + sqrt(3) cos x| <= 5 $

ecco il mio procedimento


$ -> log |sin x + sqrt(3) cos x| <= log 2^5 $

$ -> |sin x + sqrt(3) cos x| <= 2^5 $

$ -> \{ (sin x + sqrt(3) cos x >= -2^5), (sin x + sqrt(3) cos x <= 2^5), (sin x + sqrt(3) cos x >=0) :} $

$ -> \{ (sqrt(3) sqrt(1 - sin^2 x) >= -sin x - 2^5), (sqrt(3) sqrt(1 - sin^2 x) <= -sin x - 2^5), (sin x + sqrt(3) cos x >=0) :} $

Ora, la prima disequazione del sistema:

$ \{ (3 - 3sin^2 x >= sin^2 x + 2^10 + 64sin x), (-sin x <= -2^5) :} $ $ U $ $ \{ (-sin x -2^5 <0) :} $

$ -> ø $ $ U $ $ \{ (sin x > -2^5) :} -> R $

La seconda:

$ \{ (3 - 3sin^2 x <= sin^2 x + 2^10 - 64sin x), (-sin x + 2^5 >= 0) :} $

$ -> \{ (R), (R) :} $

E la terza:

$ sin x + sqrt(3) cos x >=0 -> \{ (3 - 3sin^2 x >= sin^2 x), (-sin x >= 0) :} $ $ U $ $ \{ -sin x < 0 $

$ -> -sqrt(3)/2 <= sin x <= 0 $ $ U $ $ sin x > 0 $

---

Il risultato esatto invece dovrebbe essere $ [0, 2π/3[ U ]2π/3, 5π/3[ U ]5π/3, 2π] $

[axpgn]

C'è qualcosa che non mi torna ... qual è la base del logaritmo? Se non metti niente allora, generalmente, si intende $e$, ma anche nel caso fosse $2$ come hai messo, la disequazione è sempre verificata, per tutto $RR$
Verifica i dati del problema ...

(peraltro, adesso che ci faccio caso, la soluzione che indichi significa quello ... il che ha ancor meno senso ...)

[donald_zeka]

non capisco dove sbagli

Sbagli qui:

$ -> |sin x + sqrt(3) cos x| <= 2^5 $

È palese che quella disequazione sia sempre verificata per qualsiasi $x$, infatti basta scriverla come :

$|2sin(x+pi/3)|<=2^5$

[marione111]

"axpgn":C'è qualcosa che non mi torna ... qual è la base del logaritmo? Se non metti niente allora, generalmente, si intende $ e $, ma anche nel caso fosse $ 2 $ come hai messo, la disequazione è sempre verificata, per tutto $ RR $
Verifica i dati del problema ...

Il logaritmo è in base 2, non sono riuscito ad inserirlo devo fare un po' di pratica con la scrittura nel forum.

In realtà il mio svolgimento mi portava ad avere come soluzione $ R $, in quanto non avevo inserito la 3 disequazione del sistema, la quale è inutile. Ma vedendo che la soluzione riportata non coincideva con la mia avevo pensato che l'unico errore che avevo potuto commettere era stato di aver dimenticato di porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero (in realtà il vero errore è stato mettermi a fare esercizi all'una di notte), cosa che giustamente non avevo inserito al primo tentativo in quanto è già compresa nel fatto che l'argomento è un valore assoluto, ma stupidamente quando l'ho poi inserita nel sistema (la terza disequazione) l'ho inserita senza valore assoluto.

Quindi se è sempre verificata avevo svolto l'esercizio in maniera corretta, mi stavo scervellando senza motivo.

Ma quindi la soluzione riportata per l'esercizio $ [0,2π3 2π3 ,5π3 5π3 ,2π] $ è errata?

"axpgn": (peraltro, adesso che ci faccio caso, la soluzione che indichi significa quello ... il che ha ancor meno senso ...)

Scusa, ti riferisci a questa? $ [0,2π3 2π3 ,5π3 5π3 ,2π] $

Sbaglio o non è uguale a $ RR $ ? Perché elimina dalla soluzione 2π3 e 5π3 ?

[axpgn]

Prima di tutto perché non mi ero accorto, da come l'avevi scritta, che quei valori erano esclusi ... ... e in secondo luogo perché. sbadatamente, ho dato per scontato che QUELL'ARGOMENTO fosse sempre diverso da zero ...
Ma non è così ... per quei valori dell'angolo, l'argomento del logaritmo è zero perciò vanno esclusi ...

Cordialmente, Alex

P.S.: adesso sì che ha senso l'esercizio ...

[giammaria2]

Indicazione per esercizi futuri: $log_2 x$ si scrive log_2 x. Se la base non è solo un numero o una lettera, va messa fra parentesi (lecite anche nel caso precedente): ad esempio $log_(3/2)x$ si scrive log_(3/2)x .