Disequazione logaritmica stupida

[Дэвид1]

Salve, chiedo aiuto, probabilmente per un problema stupido. Sto andandomi a rivedere un po' esponenziali e logaritmi, nello specifico le disequazioni logaritmiche. Nulla di complesso, insomma. Non mi torna però un risultato, né riesco a vedere come possa tornare. Non trovo il mio errore (sicuramente sciocco) anche perché i passaggi sono pochi, e sembrano chiari. Procediamo.
\[
\frac{1}{3}\log_{\frac{1}{7}}\left(x^3+22\right)>\log_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)
\]
C.E. (argomenti dei logaritmi $>0$)
\[
\left.\begin{aligned}
x^3+22>0\longrightarrow x>-\sqrt[3]{22}\\
x+1>0\longrightarrow x>-1\\
\end{aligned}\right\}x>-1
\]
Continuo:
\[
\begin{aligned}
\log_{\frac{1}{7}}\left(x^3+22\right)^{\frac{1}{3}}&>\log_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)\\
\log_{\frac{1}{7}}\left(x+\sqrt[3]{22}\right)&>\log_{\frac{1}{7}}\left(x+1\right)\\
\cancel{x}+\sqrt[3]{22}&<\cancel{x}+1\\
\end{aligned}
\]
Quindi impossibile.
La soluzione però proposta dal testo è:
\[
x>\frac{-1+\sqrt{29}}{2}
\]
Che suona tantissimo di soluzione ad $x^2+x-7=0$ che con la base $\frac{1}{7}$ è una strana coincidenza...
Grazie in anticipo!

[@melia]

Errore pessimo sui radicali
$root(3)(x^3+22) != root(3)(x^3)+root(3)(+22)$

$1/3 log_(1/7) (x^3+22) >log_(1/7) (x+1) $ moltiplichi per 3 e ottieni
$log_(1/7) (x^3+22) >log_(1/7) (x+1)^3 $ e poi sicuramente ti sai arrangiare

[Дэвид1]

Ecco! Allora molto meglio portarsi il $3$ dall'altra parte e fare quel lavoro di lì...grazie mille!