Disequazione logaritmica fratta
\( log_5{\frac{2 - x}{x + 3}} < log_5 4 \)
Allora, non un po' di problemi con questa disequazione, non tanto per lo svolgimento, ma per i grafici da fare, io so che non appena arrivata alla fine della disequazione me ne ritrovo 2, una del denominatore e una del numeratore, e in questo caso è {\frac{-5x - 10}{x + 3}} < 0 ma dopodiché che devo fare? E le condizioni di esistenza? In un mio vecchio esercizio ho segnato di fare il grafico sia con i due risultati che con le condizioni di esistenza, ma non capisco proprio. Grazie
Allora, non un po' di problemi con questa disequazione, non tanto per lo svolgimento, ma per i grafici da fare, io so che non appena arrivata alla fine della disequazione me ne ritrovo 2, una del denominatore e una del numeratore, e in questo caso è {\frac{-5x - 10}{x + 3}} < 0 ma dopodiché che devo fare? E le condizioni di esistenza? In un mio vecchio esercizio ho segnato di fare il grafico sia con i due risultati che con le condizioni di esistenza, ma non capisco proprio. Grazie
Risposte
Andiamo con ordine: le condizioni di esistenza vanno messe e nel caso specifico corrispondono al seguente sistema:
${((2-x)/(x+3)>0), (x+3!=0):}$. Lascio a te la risoluzione.
Per quanto riguarda la risoluzione ti ritrovi correttamente con il dover risolvere la disequazione fratta $(-5x-10)/(x+3)<0$ che preferisco scrivere come $(5x+10)/(x+3)>0$, qui devi fare uno studio di positività ossia studiare singolarmente numeratore e denominatore. Il numeratore sarà positivo per $x> -2$ e il denominatore lo sarà per $x> -3$ quindi il loro quoziente sarà positivo per $x<-3 vv x> -2$ che è il risultato della disequazione fratta (tutto ciò si trova mettendo le disequazioni di numeratore e denominatore in un grafico con i $+$ e con i $-$, ma forse a te è stato spiegato in maniera diversa).
Ora non ti resta che filtrare il risultato ottenuto con le CE, ti basta quindi mettere a sistema il risultato con le condizioni di esistenza e vedere cosa resta!
Se qualcosa non è chiaro, chiedo che cerchiamo di chiarirci le idee.
${((2-x)/(x+3)>0), (x+3!=0):}$. Lascio a te la risoluzione.
Per quanto riguarda la risoluzione ti ritrovi correttamente con il dover risolvere la disequazione fratta $(-5x-10)/(x+3)<0$ che preferisco scrivere come $(5x+10)/(x+3)>0$, qui devi fare uno studio di positività ossia studiare singolarmente numeratore e denominatore. Il numeratore sarà positivo per $x> -2$ e il denominatore lo sarà per $x> -3$ quindi il loro quoziente sarà positivo per $x<-3 vv x> -2$ che è il risultato della disequazione fratta (tutto ciò si trova mettendo le disequazioni di numeratore e denominatore in un grafico con i $+$ e con i $-$, ma forse a te è stato spiegato in maniera diversa).
Ora non ti resta che filtrare il risultato ottenuto con le CE, ti basta quindi mettere a sistema il risultato con le condizioni di esistenza e vedere cosa resta!
Se qualcosa non è chiaro, chiedo che cerchiamo di chiarirci le idee.
Credo di aver capito la domanda....
$log_5{\frac{2 - x}{x + 3}} < log_5 4 $
Dato che abbiamo 2 logaritmi della stessa base possiamo riscrivere la disequazione come:
$(2 - x)/(x + 3) < 4 $ n.b il segno della disequazione non cambia in quanto la base è maggiore di 1
Risolviamo quindi la disequazione portando il 4 a primo membro e facendo il minimo comune multiplo
$[(2 - x) - 4(x+3)]/(x + 3)<0$ $=>$ $(-5x-10)/(x+3) < 0$
Adesso dobbiamo studiare la disequazione:
Studiamo il segno del numeratore, e ci chiediamo quando è positivo??
$-5x-10 > 0$ $=>$ (dopo semplici calcoli) $x< -2$
Studiamo anche il segno del numeratore
$x+3>0$ $=>$ $x> -3$
Ora dobbiamo fare il "grafico" dei segni delle 2 disequazioni:
Ci interessa quando è negativo perciò ${ (x<-3), (x> -2) :}$
Non scordiamoci però di studiare il $ C.E.$
Cioè ${((2 - x)/(x + 3)>0), (x!= -3) :}$
La disequazione del campo di esistenza risolvila tu seguendo come spunto quella che ho fatto io...
Bisogna poi unire le soluzioni del campo di esistenza con ${ (x<-3), (x> -2) :}$
Facci sapere...
@burm87 mi hai battuto sul tempo xD
$log_5{\frac{2 - x}{x + 3}} < log_5 4 $
Dato che abbiamo 2 logaritmi della stessa base possiamo riscrivere la disequazione come:
$(2 - x)/(x + 3) < 4 $ n.b il segno della disequazione non cambia in quanto la base è maggiore di 1
Risolviamo quindi la disequazione portando il 4 a primo membro e facendo il minimo comune multiplo
$[(2 - x) - 4(x+3)]/(x + 3)<0$ $=>$ $(-5x-10)/(x+3) < 0$
Adesso dobbiamo studiare la disequazione:
Studiamo il segno del numeratore, e ci chiediamo quando è positivo??
$-5x-10 > 0$ $=>$ (dopo semplici calcoli) $x< -2$
Studiamo anche il segno del numeratore
$x+3>0$ $=>$ $x> -3$
Ora dobbiamo fare il "grafico" dei segni delle 2 disequazioni:
Ci interessa quando è negativo perciò ${ (x<-3), (x> -2) :}$
Non scordiamoci però di studiare il $ C.E.$
Cioè ${((2 - x)/(x + 3)>0), (x!= -3) :}$
La disequazione del campo di esistenza risolvila tu seguendo come spunto quella che ho fatto io...
Bisogna poi unire le soluzioni del campo di esistenza con ${ (x<-3), (x> -2) :}$
Facci sapere...
@burm87 mi hai battuto sul tempo xD
Non mi trovo molto con i tuoi calcoli XSilver ma il procedimento è proprio quello che intendevo!
Può darsi abbia sbagliato.... sapresti indicarmi dove?
Ok, grazie xSilver e burm87 ho capito cosa fare con la disequazione ma ho un'altra domanda, Le condizioni di esistenza prese, vanno risolte all'inizio e poi il risultato va messo a sistema con il risultato della disequaione?
Risolvi il sistema delle CE e quelle sono le condizioni di esistenza e restano la, è bene farle subito. Poi risolvi la tua disequazione e una volta trovato il risultato lo metti in un sistema con le condizioni di esistenza e il risultato sarà il risultato finale.
"burm87":
Risolvi il sistema delle CE e quelle sono le condizioni di esistenza e restano la, è bene farle subito. Poi risolvi la tua disequazione e una volta trovato il risultato lo metti in un sistema con le condizioni di esistenza e il risultato sarà il risultato finale.
Quoto
"xSilver":
$-5x-10 > 0$ $=>$ (dopo semplici calcoli) $x<(1/2)$
Da questa mi pare esca un $-2$ e non un $1/2$.
OOOOOOOOKKKKK!!! Ho finalmente capito! E' da questa mattina che ci pensavo e ripensavo ma non capivo proprio, grazie mille davvero! Quindi i grafici utilizzati saranno 3? Uno per la disequazione, uno per le condizioni di esistenza e uno per il sistema tra i due risultati, giusto?
Quindi i grafici utilizzati saranno 3? Uno per la disequazione, uno per le condizioni di esistenza e uno per il sistema tra i due risultati, giusto?
Corretto!
Grazie mille di nuovo!
Ho modificato..
Grazie per la precisazione ^ ^
NO NAME... Sì saranno 3!!
Grazie per la precisazione ^ ^
NO NAME... Sì saranno 3!!
"xSilver":
Bisogna poi unire le soluzioni del campo di esistenza con $x<-3$ $uu$ $x> -2$
Ultimissima precisazione solo per non creare dubbi (poi la smetto), le due soluzioni in realtà non vanno unite, bensì intersecate (messe a sistema)
Fai bene a precisare xD
non mi reputo una cima, ed ogni giorno si impara qualcosa in più
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