Disequazione logaritmica

[rekotc]

ciao a tutti! sto cercando invano di risolvere questa disequazione ma non ho idea del procedimento, in particolare avendo due basi diverse non so come andare avanti..suggerimenti?

$\frac{log_2(x+1)}{4} > 1/3*log_4(x*sqrt{x}+1) $

[jellybean22]

Puoi appplicare la regola del cambiamento di base..

[rekotc]

eh avevo provato ad applicare la regola a log4 e l'ho riscritto come:

$\frac{log_2(x*sqrt{x}+1)}{2}$

però non mi è servito..ci sono quei coefficienti $1/4$ e $1/3$ davanti ai logaritmi che non aiutano...

[jellybean22]

Quei coefficienti per l'altra proprietà dei logaritmi (quella delle potenze) li puoi portare come esponente dell'argomento del logaritmo!

[rekotc]

ok provo a scrivere fin dove sono arrivato...

$log_2(x+1)^(1/4) > log_2(x*sqrt(x)+1)^(1/6)$

da cui poi ho riscritto usando le potenze:

$2^(log_2(x+1)^(1/4)) > 2^(log_2(x*sqrt(x)+1)^(1/6))$

che diventa

$(x+1)^(1/4) > (x*sqrt(x)+1)^(1/6)$

adesso però non saprei..

[chiaraotta1]

Mi sembra che si potrebbe risolvere così ....

Intanto sarebbe da definire il dominio ($x>=0$).

Poi, da
$(log_2(x+1))/4 > 1/3*log_4(x*sqrt{x}+1)$
cambiando base si può arrivare a
$(log_2(x+1))/4 > 1/3*1/2*log_2(x*sqrt{x}+1)$
e
$3*log_2(x+1)> 2*log_2(x*sqrt{x}+1)$,
$log_2((x+1)^3) > log_2((x*sqrt{x}+1)^2)$,
$(x+1)^3>(x*sqrt{x}+1)^2$,
$x^3+3x^2+3x+1>x^2*x+2x*sqrt(x)+1$,
$x^3+3x^2+3x>x^3+2x*sqrt(x)$,
$x(3x-2sqrt(x)+3)>0$.

In tutto il dominio ($x>=0$) il secondo fattore è $>0$, il primo invece è $>=0$. Quindi il prodotto è $>0$ purché il primo sia $!=0$.
Perciò le soluzioni sono $x>0$.

[rekotc]

hai ragione!...potevo moltiplicare per 12 in modo da far sparire i denominatori ...grazie mille mi siete stati davvero d'aiuto!