Disequazione logaritmica

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jennyv
jennyv
18 ago 2009, 13:07
ciao, ho un problema con una disequazione logaritmica

$lg_2(2^(x) -1)*lg_(1/2) (2 ^(x+1) -2) > -2$

io ho provato prima di tutto a cambiare di base il logaritmo per portarlo a base 2 cioè:

$-lg_2(2^(x) -1)*lg_2 (2 ^(x+1) -2) > - 2$ che trasformato diventa $lg_2(2^(x) -1)*lg_2 (2 ^(x+1) -2) avevo provato a fare $(lg_2 (2^(x) -1))/ (lg_2 4)<(lg_2 4)/ (log_2 (2 ^(x+1) -2))$ però poi posso fare $lg_2(2^(x) -1)-lg_2 4
Risposte
@melia
@melia
18 ago 2009, 11:31
Dopo aver osservato che $2 ^(x+1) -2=2*(2^x -1)$
la tua disequazione $-lg_2(2^(x) -1)*lg_2 (2 ^(x+1) -2) > - 2$ diventa $-lg_2(2^x -1)*lg_2 (2*(2^x -1))> -2$ cioè $-lg_2(2^(x) -1)*(1+lg_2 (2^x -1))> -2$
Che ne dici? Sai procedere da sola adesso?
Steven11
Steven11
18 ago 2009, 11:32
Ciao.

avevo provato a fare $(lg_2 (2^(x) -1))/ (lg_2 4)<(lg_2 4)/ (log_2 (2 ^(x+1) -2))$

Francamente non ho capito bene da dove escono quei due $log_2 4$
Ad ogni modo, mi sembra di vedere che hai diviso per $log_2 (2 ^(x+1) -2)$, e questo temo sia non consentito :)
Infatti in una disequazione occorre stare attenti, perché potresti stare a dividere per qualcosa di negativo e allora dovresti cambiare il segno.

Io piuttosto ho notato una cosa:
$2^(x+1)-2=2*2^x-2$ cioè $2(2^x-1)$

Quindi quel logaritmo possiamo scriverlo da così
$log_2(2^(x+1)-2)$ a così $log_2[2(2^x-1)]$
Ma tu stessa hai visto un po' di teoria, quindi siccome in generale $log(ab)=loga+logb$ possiamo scrivere

$log_2[2(2^x-1)]=log_2 2+log_2(2^x-1)$

Detto ciò, la disequazione iniziale diviene facile, sostituendo la nuova forma di quel logaritmo
$-log_2(2^(x) -1)*log_2 (2 ^(x+1) -2) > -2$
diviene
$-log_2(2^(x) -1)*[log_2 2+log_2(2^x-1)] > -2$

Ponendo per comodità $log_2(2^x-1)=t$ e siccome $log_2 2=1$ risolvi
$-t(1+t)> -2$

Sai andare aventi sola ora?

ps: @melia, oggi ho un po' più di tempo da perdere... :wink:
adaBTTLS1
adaBTTLS1
18 ago 2009, 11:33
no, l'unica cosa che mi viene in mente è trasformare il secondo argomento: se metti in evidenza il 2 viene "come" il primo, e dunque hai tutti "numeri" tranne un termine ripetuto con l'incognita, che ti porterebbe ad una sostituzione del tipo $log_2\(2^x-1)=y$.
prova e facci sapere. ciao.

EDIT: il no si riferiva al passaggio di cui chiedevi.... non si può fare.
.... sono arrivata veramente tardi!
jennyv
jennyv
18 ago 2009, 12:30
ciao grazie a tutti delle risposte :D
ho capito come devo procedere. ho un dubbio però che mi è venuto leggendo la teoria sul libro

$log a/b=log a/log B$ ? quindi $log a/ logb= log a-log b$? o solo $ log a/b= log a-log b$ come è scritto sul libro?
il passaggio di prima non si può fare solo in questo caso o in altri casi si potrebbe fare? grazie
Steven11
Steven11
18 ago 2009, 13:23
Suppongo tu volessi scrivere $log(a/b)$ invece di $log a/b$

Se è così (come sono sicuro), allori ti dico subito che l'unica relazione giusta è
$log(a/b)=loga-logb$
Le altre non sono giuste.

Ciao.
jennyv
jennyv
18 ago 2009, 14:40
ok ho capito grazie ancora :D :lol:
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