Disequazione Logaritmica

[Nonsochenomemettere8]

Ciao a tutti!
Devo risolvere questa disequazione logaritmica:
Log(x-1)-log(3+2x-x^2) <= log(2-x)-log(x+1)
Per favore riuscite a mostrarmi i passaggi?
Almeno quelli fondamentali.
Grazie

[anto_zoolander]

$log(x-1)-log(3+2x-x^2)leqlog(2-x)-log(x+1)$

Intanto comincia con il citare il mio messaggio e guardare come è scritta la formula.

Poi quì basterebbe applicare la proprietà dei logaritmi:

$log_a(b)-log_a(c)=log_a(b/c)$

Arriverai ad una forma del tipo $log_a(b/c)leqlog_a(p/q)$

Nota che il logaritmo con basi strettamente positive è una funzione crescente e per tanto conserva l'ordinamento. In questi casi dalla definizione di funzione crescente si avrebbe che:

$log_a(b/c)leqlog_a(p/q)<=>b/cleqp/q$

[Nonsochenomemettere8]

Grazie, fino a qui ci sono arrivato.
Il problema arriva nel momento in cui, avendo due frazioni e facendo il denominatore comune(o usando la regola della moltiplicazione ad entrambi i membri), e avendo poi svolto i calcoli, mi trovo davanti ad una cosa del genere:

x^3-5x^2+x+7 >= 0

A questo punto, non essendo un cubo perfetto, ho utilizzato Ruffini (se vi sono altri metodi più veloci vi prego di descrivermeli), ed ho ottenuto questo:

(x+1)(x^2-6x+7)>=0 che ha come soluzioni finali x>=-1 e 3(+-)2*[radice di 3]

Ora questa soluzione dovrei confrontarla con le CE iniziali. Confermate il risultato?

[axpgn]

Attento che $3+2x-x^2=(3-x)(x+1)$, quindi non avrai un'espressione di terzo grado ...

[Nonsochenomemettere8]

"axpgn":Attento che $3+2x-x^2=(3-x)(x+1)$, quindi non avrai un'espressione di terzo grado ...

Vero, ma in ogni caso non si semplificherebbe con il (x-1) che avrei al numeratore. Dovrei comunque moltiplicare da entrambi e alla fine otterrei comunque un'equazione di terzo grado

[axpgn]

Non è quello il punto ...

$ (x-1)/(3+2x-x^2)-(2-x)/(x+1)<=0 $

$ (x-1)/((3-x)(x+1))-(2-x)/(x+1)<=0 $

$ ((x-1)-(2-x)(3-x))/((3-x)(x+1))<=0 $

$ (x-1-(x^2-5x+6))/(3+2x-x^2)<=0 $

$ (-x^2+6x-7)/(3+2x-x^2)<=0 $

$ (x^2-6x+7)/((x-3)(x+1))<=0 $

Come vedi, nessuna equazione di terzo grado ...

Moltiplicare i denominatori è corretto perché ottieni un denominatore comune ma non è il minimo comun denominatore e questo, generalmente, complica le cose ...

Cordialmente, Alex

[Nonsochenomemettere8]

"axpgn":Non è quello il punto ...

$ (x-1)/(3+2x-x^2)-(2-x)/(x+1)<=0 $

$ (x-1)/((3-x)(x+1))-(2-x)/(x+1)<=0 $

$ ((x-1)-(2-x)(3-x))/((3-x)(x+1))<=0 $

$ (x-1-(x^2-5x+6))/(3+2x-x^2)<=0 $

$ (-x^2+6x-7)/(3+2x-x^2)<=0 $

$ (x^2-6x+7)/((x-3)(x+1))<=0 $

Come vedi, nessuna equazione di terzo grado ...

Moltiplicare i denominatori è corretto perché ottieni un denominatore comune ma non è il minimo comun denominatore e questo, generalmente, complica le cose ...

Cordialmente, Alex

Grazie mille. Provo enti faccio sapere!

[Nonsochenomemettere8]

"axpgn":Non è quello il punto ...

$ (x-1)/(3+2x-x^2)-(2-x)/(x+1)<=0 $

$ (x-1)/((3-x)(x+1))-(2-x)/(x+1)<=0 $

$ ((x-1)-(2-x)(3-x))/((3-x)(x+1))<=0 $

$ (x-1-(x^2-5x+6))/(3+2x-x^2)<=0 $

$ (-x^2+6x-7)/(3+2x-x^2)<=0 $

$ (x^2-6x+7)/((x-3)(x+1))<=0 $

Come vedi, nessuna equazione di terzo grado ...

Moltiplicare i denominatori è corretto perché ottieni un denominatore comune ma non è il minimo comun denominatore e questo, generalmente, complica le cose ...

Cordialmente, Alex

Alla fine dalla disequazione trovo 3 (+-) * radice2
A questo punto dovrei confrontare con le CE che sono
X>1
X<3 e x>-1
X<2
X>-1

E quindi quale sarebbe la soluzione?

[igiul1]

1) Sai trovare le soluzioni di un sistema di disequazioni? Fallo trova le condizioni di esistenza.

2) Quando risolvi una disequazione fratta non puoi ignorare il segno del denominatore, cosa che tu hai fatto, perchè il segno di una frazione è dato dal prodotto dei segni di numeratore e denominatore.

[Nonsochenomemettere8]

"igiul":1) Sai trovare le soluzioni di un sistema di disequazioni? Fallo trova le condizioni di esistenza.

2) Quando risolvi una disequazione fratta non puoi ignorare il segno del denominatore, cosa che tu hai fatto, perchè il segno di una frazione è dato dal prodotto dei segni di numeratore e denominatore.

1- Si, le ho elencate.

2- Non ho dimenticato segni del denominatore.

Se dovessi aver sbagliato, pregherei di dirmi, se avete tempo, la risposta, senza continuare a girarci attorno. So che è un forum in cui si danno consigli, ma io devo essenzialmente risolvere l'esercizio ed avevo questi dubbi. Pur rifacendola più volte ho trovato lo stesso intoppo, ho postato pertanto il modo con cui avevo risolto. Se guardate il messaggio di axpgn, vi dico che ho trovato la stessa cosa. Dopo, ho risolto l'equazione di secondo grado che si forma al numeratore (dopo aver tolto il denominatore moltiplicando ad entrambi i membri per i fattori che compaiono ai denominatori) ed ho trovato la soluzione della disequazione 3(+-) / radice 2.

[igiul1]

1) Hai elencato le soluzioni delle singole disequazioni e non quelle del sistema. Comunque CE=$(1;2)$

2) Non puoi moltiplicare i due membri per il denominatore. Non conosci il segno di questo e di conseguenza non puoi determinare correttamente il segno della frazione, tra l'altro tu hai indicato solo gli zeri del numeratore.
Devi studiare il segno del numeratore e del denominatore e poi vedere in quali intervalli il prodotto dei segni è negativo.

Avrai:

$Num>=0$ per $x<=3-sqrt2$ V $x>=3+sqrt2$

$Den>0$ per $x<-1$ V $x>3$

Di conseguenza,considerando le condizioni di esistenza $(1;2)$, la soluzione sarà : $1

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[Nonsochenomemettere8]

"igiul":1) Hai elencato le soluzioni delle singole disequazioni e non quelle del sistema. Comunque CE=$(1;2)$

2) Non puoi moltiplicare i due membri per il denominatore. Non conosci il segno di questo e di conseguenza non puoi determinare correttamente il segno della frazione, tra l'altro tu hai indicato solo gli zeri del numeratore.
Devi studiare il segno del numeratore e del denominatore e poi vedere in quali intervalli il prodotto dei segni è negativo.

Avrai:

$Num>=0$ per $x<=3-sqrt2$ V $x>=3+sqrt2$

$Den>0$ per $x<-1$ V $x>3$

Di conseguenza,considerando le condizioni di esistenza $(1;2)$, la soluzione sarà : $1


Come hai trovato quella soluzione?
Dove ho sbagliato?

[igiul1]

Costruisci il grafico delle soluzioni di numeratore e denominatore, moltiplica i segni nei singoli intervalli, limita il tutto al C.E.