Disequazione irrazionale fratta

[Satiro]

Ciao ragazzi,ho un problema molto banale,ma i miei appunti fan schifo e sto cercando di capirci qualcosa. Prendiamo,per esempio la seguente disequazione irrazionale fratta :

${x*sqrt(x^2-1)}/[(x^2-4)(9-x^2)]<=0$

La prima cosa che mi verrebbe da fare sarebbero le C.E. per la radice $x^2-1>=0$ -> $x>=+-1$ a questo punto faccio il grafichino solito per i due punti che in questo caso sono +1 e -1,però non so se devo prendere la parte negativa del grafico cioè $-1+1$ . Presumiamo che prenda il primo cioè $-1

[piero_1]

${x*sqrt(x^2-1)}/[(x^2-4)(9-x^2)]<=0$
risolvi le seguenti disequazioni separatamente:
$x>=0$
$sqrt(x^2-1)>=0$
$(x^2-4)>0$
$(9-x^2)>0$
fai il grafico, applica la regola dei segni e prendi i valori negativi

[giammaria2]

Primo: $x>=+-1$ non significa niente: zero sarebbe accettabile? La risposta è $x=+-1$, valori esterni compresi gli estremi, cioè $x<=-1 vv x>=1$.
Giusto il ragionamento finale: devi escludere cio che sta fuori dal C.E.
Per Piero: e va escluso anche se c'è il segno meno: un diagramma dei segni, da solo, non tiene conto del C.E., che è una cosa diversa dall'essere negativo.

[Satiro]

ah ok grazie,ma scusa la domanda, hai detto che $x=+-1$,che non può essere 0 l'ho capito però io ero solito porre $>=$ come regola fissa anche nel C.E. è sbagliato quindi?o solo in questo caso si deve escludere la possibilità che sia uguale a 0? mi hai detto poi di prendere $x<=-1 V x>=+1$ quindi nel calcolo del CE il segno della disequazione non viene preso in considerazione?solo al momento della risoluzione considero il segno della disequazione?ad ogni modo,la radice la elimino sempre giusto?

[giammaria2]

La mia frase non era chiara e per questo l'hai fraintesa. Intendevo questo: se scrivo $x>=+-1$ e poi do ad x un valore che stia fra questi estremi (avevo detto zero, ma avrei potuto dire 0,72 o -0,5), non è possibile dire se la diseguaglianza è verificata o no, quindi non ha senso scrivere in quel modo. Farlo è un errore molto comune, ma pur sempre un errore.
Per il resto: il segno della disequazione non ha importanza nel calcolo del C.E. e viene preso in considerazione solo al momento della risoluzione; una radice quadrata è sempre positiva (o nulla) e quindi può essere eliminata, con un po' di attenzione al fatto se gli zeri del primo membro sono o no accettabili.

[Satiro]

ah ok,quindi con le C.E. metto sempre "x=" e come in questo caso faccio il grafichetto escludendo,nella tabella finale,tutto ciò che non rientra nelle condizioni di esistenza.

[Satiro]

Ah dimenticavo,lo chiedo così scrivo tutto direttamente, il segno $<=$ della disequazione lo devo tenere in considerazione per scegliere i valori negativi della tabella finale e questo ok,ma se,come in questo caso,mi imbatto in tante piccole disequazioni di 2° grado,devo sempre tenere in considerazione il "<=" per decidere se prender valori interni o esterni nei grafici in cui inserire i soliti due valori? nel caso di $9-x^2$ dovrebbe risultare $-x^2> -9$ che dovrebbe diventare $x<+-3$ giusto? in questo caso il grafico deve essere ribaltato a causa del segno negativo dell'incognita?Grazie mille e scusate ancora le banalità.

[@melia]

Sei caduto nuovamente nello stesso errore che ti ha fatto notare giammaria. La scrittura $x<+-3$ non ha significato, che cosa intendi dire con quella forma? Che x è minore di $+3$, di $-3$, di entrambi?
La disequazione $9-x^2>0$ è una disequazione di secondo grado e come tutte le disequazioni di secondo grado richiede un paio di passaggi, il primo è la soluzione dell'equazione associata. Quindi $9-x^2=0$ da cui ricavi $x=+-3$, poi la soluzionne della disequazione, quindi $-3
Se la disequazione di secondo grado fosse stata $x^2-5x+6>0$ l'avresti risolta così $x>(5+-sqrt(25-24))/2$? O avresti trovato le soluzioni dell'equazione associata e per poi tornare alla disequazione?

[Satiro]

Io avrei semplicemente fatto il calcolo del delta e trovate le due soluzioni le avrei schiaffate nel grafico.Avrei bisogno che qualcuno però risponda al caso che ho posto.Ho notato che hai preso "-30$.Quello che vorrei capire ora è: il grafico per le due soluzioni come l'hai strutturato?l'hai ribaltato per via del segno negativo della x ed hai preso i valori interni positivi oppure l'hai lasciato così com'era e hai preso sempre quelli interni per via del segno $<=$ della disequazione fratta?Quindi quando risolvo le varie disequazioni da cui è costituito l'esercizio termino ponendo $X=+- a$ giusto?scusate la lentezza.

[G.D.5]

Ogni disequazione va affrontata per i fatti suoi.
La disequazione fratta vuole che la frazione sia [tex]\leqslant 0[/tex] ed allora quando studi i l grafico finale di questa disequazione andrai a sceglierer i valori di [tex]x[/tex] che rendono negativa o nulla la frazione: se fosse stato [tex]\geqslant 0[/tex], saresti andato a scegliere i valori che rendono positiva o nulla la frazione.
La varie disequazioni di secondo grado le risolvi come ti pare: avresti potuto decidere anche di risolverle ponendo [tex]<[/tex] anziché [tex]>[/tex]: in entrambi i casi, prendi l'equazione associata e la risolvi, poi per capire se prendere i valori esterni od i valori interni devi confrontare il segno del coefficiente di [tex]x^{2}[/tex] col verso della disequazione:
- se sono concordi prendi i valori esterni;
- se sono discordi prendi i valori interni.

[Satiro]

Mmm quindi,sembre restando sui valori da prendere.Se ,come nel caso precedente,mi ritrovo con $-x^2= -9$ e decido di cambiare i segni ad entrambi i membri,ponendoli positivi, nel grafico dei due valori che prendo?il mio professore non mi ha mai parlato di controllare se concordi o discordi.Me l'ha spiegato molto + semplicemente dicendo che se c'è il segno negativo davanti alla x il grafico va ribaltato e se il segno della disequazione è "<" allora bisogna prendere i valori negativi,il mio dubbio sta nel fatto che non ricordo quando applicare questa regola del <,ovvero se applicarla a ogni singolo grafico di ogni disequazione di secondo grado oppure solo nella tabellona finale con i vari + e -

[Satiro]

Io procederei così(faccio un riassunto di come svolgere la disequazione):
C.E. del radicale $x^2>=0$ -> $x=+- 2$ -> $x<= -1 V x>=+1$

$x>=0$
$x^2-1>=0$ -> $x=+-1$ -> $x<= -1 V x>=+1$
$x^2-4>0$ -> $x=+-2$ -> $x<-2 V x>=+2$
$9-x^2>0$ -> $x=+-3$ -> $-3
risultato finale
$-33$(non sapevo come scrivere la v al contrario)

[^Tipper^1]

A me torna anche $-1

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[Satiro]

uff,non me ne viene nessuna però.Qualche pro moderator potrebbe provare a risolverla?Ma cmq ora che ci penso, -1

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[^Tipper^1]

Hai ragione, per il C.E. quella zona non è accetabile.

[Satiro]

Beh dai almeno qualcosa l'ho capita anche io.Però mi servirebbe l'intervento di un moderatore o uno dei soliti mega esperti!please!

[G.D.5]

Perché esista il radicale deve essere [tex]x^{2}-1\geqslant 0[/tex]; perché esista la frazione deve essere [tex]\left( x^{2}-4 \right)\left( 9-x^{2} \right) \neq 0[/tex] che, per la legge di annullamento del prodotto, diventa [tex]x^{2}-4\neq0[/tex] e [tex]9-x^{2}\neq0[/tex].
Quindi il campo di esistenza si determina risolvendo il seguente sistema:
[tex]\begin{cases}
& x^{2}-1\geqslant 0\\
& x^{2}-4\neq0\\
& 9-x^{2}\neq0\\
\end{cases}[/tex]
Per risolvere la prima disequazione consideriamo l'equazione associata [tex]x^{2}-1=0[/tex]: questa è risolta da [tex]x=\pm1[/tex] e poiché nella disequazione il coefficiente dell'incognita di secondo grado è concorde col verso della disequazione si prendono i valori esterni: [tex]x\leqslant -1 \lor x\geqslant 1[/tex].
Le altre due disuguaglianze sono risolte da [tex]x\neq\pm2[/tex] e [tex]x\neq\pm3[/tex].
In conclusione [tex]\text{C.E.}=\{x \in \mathbb{R}\mid \left(x\leqslant -1 \lor x\geqslant1\right) \land x\neq\pm2 \land x\neq\pm3\}[/tex].
Per risolvere la disequazione occorre studiare il segno della frazione.
Studiamo allora quando [tex]N(x)=x\cdot\sqrt{x^{2}-1}\geqslant0[/tex] e quando [tex]D(x)=(x^{2}-4)(9-x^{2})>0[/tex] (ma avremmo potuto studiare anche quando il numeratore è [tex]\leqslant0[/tex] ed il denominatore [tex]<0[/tex], oppure quando il numeratore [tex]\leqslant0[/tex] ed il denominatore [tex]>0[/tex] o viceversa: la cosa importante è studiare bene i segni alle fine).
Il numeratore è un prodotto che contiene una radice quadrata, quindi il suo segno dipende solo da [tex]x[/tex]: allora [tex]N(x)\geqslant0 \iff x\geqslant0[/tex].(*)
Il denominatore è un prodotto e ne stidiamo il segno studiando il segno dei singoli fattori: [tex]x^{2}-4>0 \iff x< -2 \lor x> 2[/tex] (abbiamo trovato le soluzioni dell'equazione associata all'inizio con lo studio delle C.E. e prendiamo i valori esterni perché il segno del coefficiente di secondo grado è concorde con il verso della disequazione) e [tex]9-x^{2}>0 \iff -3< x< 3[/tex] (prendiamo i valori interni perché il segno del coefficiente di secondo grado è discorde col verso della disequazione). Allora [tex]D(x)>0 \iff -3 Dunque le soluzioni sono date da [tex]x<-3 \lor -23[/tex].(**)


__________________
(*) Il C.E. lo considererò alla fine.
(**) Qui ho tenuto conto del C.E..

[Satiro]

mi verrebbe da dire.....E'?..........non sono solito a risolverle in questo modo,a me è stato spiegato che il denominatore deve essere sempre posto >0,da quello che hai spiegato credo di aver sbagliato,nonostante non capisca bene cosa,anche perchè nelle soluzioni c'era una certa "simmetria",magari potreste risolvere il dubbio che ho postato diverse volte in precedenza? ""se c'è il segno negativo davanti alla x il grafico va ribaltato e se il segno della disequazione è "<" allora bisogna prendere i valori negativi,il mio dubbio sta nel fatto che non ricordo quando applicare questa regola del <,ovvero se applicarla a ogni singolo grafico di ogni disequazione di secondo grado oppure solo nella tabellona finale con i vari + e -"" da quello che hai scritto si evince che la cosa debba essere applicata ad ogni singolo grafico per determinare i due valori,quindi,nel caso di $9-x^2$ non solo ribalto ma prendo pure i valori interni,che,in questo caso,corrispondono alla parte positiva.Ora che penso che questo sia stato spiegato,a voi la conferma,per quanto riguarda la tabella finale dei + e dei -,devo nuovamente tener conto del segno $<=$ della disequazione di partenza giusto? e quindi prendere i valori negativi.Inoltre sulla base di cosa devo scegliere se porre i risultati x>0 V X<3 anzichè utilizzare "E" cioè la v al contrario?

[Satiro]

ma sbaglio ho hai preso i valori positivi della tabella per la soluzione finale?