Disequazione irrazionale di indice pari

[Eavan_93]

Il mio problema è che non riesco a risolvere una banalissima (forse) disequazione irrazionale data da:
$ \sqrt{x+2} > x $. Il domino è x maggiore o uguale a -2. Le soluzioni sono $ -2 \leq x < 2 $ mentre a me risulta $ -1 \leq x \leq 2 $.

In pratica io ho elevato al quadrato ambo i membri e portando tutto a primo membro ottenendo:
$ x^2-x-2 > 0 $ che non da le soluzioni che cerco. Dove sbaglio ?

[minomic]

Non puoi elevare subito al quadrato ma devi prima fare ipotesi sulla quantità di destra.
A sinistra hai una radice, cioè una quantità sempre positiva (o meglio non-negativa). A destra hai una $x$: se $x<0$ cosa succede? Se invece $x>0$?

[Eavan_93]

A destra hai una x: se x<0 cosa succede? Se invece x>0?

E quello che ho pensato io. Ma ovviomente mi sono talmente intrecciato che non riesco a vedere la soluzione. Comunque se $ x < 0 $ l'equazione non ha senso perchè una radice di indice pari non può essere positiva. Se $ x > 0 $ allora posso elevare al quadrato ambo i membri ( questo e come ho ragionato, ma probabilmente c'è qualcosa di sbagliato in questo ragionamento ).

[minomic]

"Eavan_93":se $ x < 0 $ l'equazione non ha senso perchè una radice di indice pari non può essere positiva

Ecco l'errore nel tuo ragionamento! E' vero il contrario: se $x<0$ succede che a sinistra hai comunque una radice (sempre positiva o nulla) mentre a destra hai una quantità negativa. In conclusione un positivo è sempre maggiore di un negativo e la disequazione è verificata!
Formalizziamo le cose: \[
\begin{cases}
x\ge -2\\
x<0
\end{cases} \qquad\cup\qquad\begin{cases}
x\ge -2\\
x\ge 0\\
x+2 > x^2
\end{cases}\]

[Eavan_93]

Ecco cosa mi mancava. Avevo intuitivamente pensato a questo. Infatti ponendo $ x = -2 $ ottengo una disuguaglianza vera. Il fatto e che non riuscivo a formalizzare il concetto. L'unione tra i due sistemi era l'elemento fondamentale per risolvere il problema. Grazie ancora del chiarimento!

[minomic]

Prego, figurati!
Per altri dubbi siamo qui.