Disequazione irrazionale con valore assoluto.
Salve a tutti. È da un pò di tempo che sto cercando di capire come si risolvono disequazioni del tipo:
\(\ \sqrt{1+x^2}<2-|x|\) oppure \(\ \sqrt{|x|+1}<1-x \) , ma non riesco a capirlo. Senza risolverle del tutto, potreste darmi un indizio o uno spunto per capire come impostare l'esercizio ?
Un saluto a tutti,
Francesco.
\(\ \sqrt{1+x^2}<2-|x|\) oppure \(\ \sqrt{|x|+1}<1-x \) , ma non riesco a capirlo. Senza risolverle del tutto, potreste darmi un indizio o uno spunto per capire come impostare l'esercizio ?
Un saluto a tutti,
Francesco.
Risposte
Diciamo che hai $\sqrt(p(x))
Con questi due vincoli puoi elevare al quadrato i membri e risolvere $p(x)<(q(x))^2$
Nel caso hai un modulo nell'espressione, devi considerare due disequazioni separate, una per il modulo >0 e l'altra per il modulo <0.
Con questi due vincoli puoi elevare al quadrato i membri e risolvere $p(x)<(q(x))^2$
Nel caso hai un modulo nell'espressione, devi considerare due disequazioni separate, una per il modulo >0 e l'altra per il modulo <0.
Utilizzando la notazione di Quinzio, vorrei precisare un paio di cose.
Esercizio del tipo $\sqrt{p(x)}< q(x)$.
Per prima cosa devi fare il dominio, per cui sicuramente dovrai porre $p(x)\geq 0$. Ora, lo scopo è liberarsi della radice elevando al quadrato entrambi i membri. Il problema è che ciò può essere fatto in modo algebricamente corretto solo se entrambi sono positivi. Infatti, prendi come esempio il seguente caso numerico: è vero che $-2<1$, ma certo non è vero che $(-2)^2 < 1^2$!
Perciò dividerai il problema in due casi mutuamente esclusivi e alla fine unirai le due soluzioni rispettive:
$(1)\{(q(x)\geq 0),( p(x)< q^2(x)):}$
$(2)\{(q(x)< 0),( \sqrt{p(x)}< q(x)):}$ (qui non possiamo elevare al quadrato, vedi? Inoltre la soluzione di questo caso è sempre $\emptyset$ perché una radice non è mai minore di un numero negativo)
Totalmente analogo sarà:
Esercizio del tipo $\sqrt{p(x)}>q(x)$.
Fai il dominio.
I casi sono:
$(1)\{(q(x)\geq 0),( p(x)> q^2(x)):}$
$(2)\{(q(x)< 0),( \sqrt{p(x)}> q(x)):} $ questo caso è sempre vero (soluzione = \mathbb{R}) perchè una radice è sempre maggiore di un negativo. Dunque la soluzione di questo caso sarà solo $q(x)<0$, dato che è un sistema.
Spero che questo quadro più generale ti aiuti.
Paola
Esercizio del tipo $\sqrt{p(x)}< q(x)$.
Per prima cosa devi fare il dominio, per cui sicuramente dovrai porre $p(x)\geq 0$. Ora, lo scopo è liberarsi della radice elevando al quadrato entrambi i membri. Il problema è che ciò può essere fatto in modo algebricamente corretto solo se entrambi sono positivi. Infatti, prendi come esempio il seguente caso numerico: è vero che $-2<1$, ma certo non è vero che $(-2)^2 < 1^2$!
Perciò dividerai il problema in due casi mutuamente esclusivi e alla fine unirai le due soluzioni rispettive:
$(1)\{(q(x)\geq 0),( p(x)< q^2(x)):}$
$(2)\{(q(x)< 0),( \sqrt{p(x)}< q(x)):}$ (qui non possiamo elevare al quadrato, vedi? Inoltre la soluzione di questo caso è sempre $\emptyset$ perché una radice non è mai minore di un numero negativo)
Totalmente analogo sarà:
Esercizio del tipo $\sqrt{p(x)}>q(x)$.
Fai il dominio.
I casi sono:
$(1)\{(q(x)\geq 0),( p(x)> q^2(x)):}$
$(2)\{(q(x)< 0),( \sqrt{p(x)}> q(x)):} $ questo caso è sempre vero (soluzione = \mathbb{R}) perchè una radice è sempre maggiore di un negativo. Dunque la soluzione di questo caso sarà solo $q(x)<0$, dato che è un sistema.
Spero che questo quadro più generale ti aiuti.
Paola
Mi Scuso per il ritardo con cui sto rispondendon 
. Comunque concetti afferrati, vi ringrazio entrambi per l' aiuto.
. Comunque concetti afferrati, vi ringrazio entrambi per l' aiuto.
Mi Scuso per il ritardo . Comunque concetti afferrati, vi ringrazio entrambi per l' aiuto.
. Comunque concetti afferrati, vi ringrazio entrambi per l' aiuto.
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