Disequazione irrazionale
Ciao a tutti, ho la seguente disequazione:
$ \frac{x\sqrt{-x^2+4}}{x^2-4}-1>\0 $
Per risolverla ho posto tutto a sistema:
$ { ( -x^2+4\ge 0 ),( \frac{x^2\left(-x^2+4\right)}{\left(x^2-4\right)^2}>1 ):} $
Ho dunque posto l'argomento della radice $\ge 0$ ed elevato entrambi i membri al quadrato.
Ho risolto le disequazioni, ottenendo:
$ { ( -2\le \x\le 2 ),( -2
Con soluzione finale, quindi:
$-2
Il risultato corretto della disequazione però è: $-2
Qualcuno potrebbe dirmi dove sbaglio?
sto cercando l'errore da un'eternità e non riesco a scorgerlo 
Grazie in anticipo per l'aiuto.
$ \frac{x\sqrt{-x^2+4}}{x^2-4}-1>\0 $
Per risolverla ho posto tutto a sistema:
$ { ( -x^2+4\ge 0 ),( \frac{x^2\left(-x^2+4\right)}{\left(x^2-4\right)^2}>1 ):} $
Ho dunque posto l'argomento della radice $\ge 0$ ed elevato entrambi i membri al quadrato.
Ho risolto le disequazioni, ottenendo:
$ { ( -2\le \x\le 2 ),( -2
Con soluzione finale, quindi:
$-2
Il risultato corretto della disequazione però è: $-2
Qualcuno potrebbe dirmi dove sbaglio?
sto cercando l'errore da un'eternità e non riesco a scorgerlo Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Il problema nasce quando elevi al quadrato. Se elevi al quadrato non hai in generale una disequazione equivalente.
Ti faccio un esempio: se hai la disequazione (molto semplice) $x >3$ ed elevi entrambi i membri al quadrato, ottieni $x^2 >9$. Ma le due disequazione non sono equivalenti. La prima ha soluzione $x >3$, la seconda $x < -3 vv x >3$.
La cosa che farei è ripartire da capo, e fare denonimatore comune.
Ti faccio un esempio: se hai la disequazione (molto semplice) $x >3$ ed elevi entrambi i membri al quadrato, ottieni $x^2 >9$. Ma le due disequazione non sono equivalenti. La prima ha soluzione $x >3$, la seconda $x < -3 vv x >3$.
La cosa che farei è ripartire da capo, e fare denonimatore comune.
"Gi8":
Il problema nasce quando elevi al quadrato. Se elevi al quadrato non hai in generale una disequazione equivalente.
Ti faccio un esempio: se hai la disequazione (molto semplice) $x >3$ ed elevi entrambi i membri al quadrato, ottieni $x^2 >9$. Ma le due disequazione non sono equivalenti. La prima ha soluzione $x >3$, la seconda $x < -3 vv x >3$.
La cosa che farei è ripartire da capo, e fare denonimatore comune.
Ma essendo al secondo membro $1\ge 0$ sempre vero, non posso elevare tranquillamente al quadrato entrambi i membri?
Non ho difatti nemmeno posto la CCS, ho elevato al quadrato senza farmi troppi problemi
Il problema è la $x$ che sta a numeratore del primo membro, è lei che quando la elevi al quadrato diventa sempre positiva, mentre in generale non lo è.
$ \frac{x\sqrt{-x^2+4}}{x^2-4}> 1 $
Ok, sicuramente $1$ è positivo, ma il primo membro?
Se al posto del primo membro ci fosse $-3$, avremmo $-3 >1$, che è falsa.
Ma se seguiamo il tuo ragionamento, ovvero di elevare tutto al quadrato, abbiamo $9 >1$, che è vera.
Riassumendo: in generale, $A > B$ non è equivalente a $A^2 > B^2$.
(però, se $A>0$ e $B>0$, allora $A > B$ è equivalente a $A^2 > B^2$)
Ok, sicuramente $1$ è positivo, ma il primo membro?
Se al posto del primo membro ci fosse $-3$, avremmo $-3 >1$, che è falsa.
Ma se seguiamo il tuo ragionamento, ovvero di elevare tutto al quadrato, abbiamo $9 >1$, che è vera.
Riassumendo: in generale, $A > B$ non è equivalente a $A^2 > B^2$.
(però, se $A>0$ e $B>0$, allora $A > B$ è equivalente a $A^2 > B^2$)
Mettendo insieme le condizioni della radice $>=0$ e del denominatore $!=0$, abbiamo un primo intervallo I da rispettare $-2
Osservando $(xsqrt(4-x^2))/(x^2-4)>1$ sappiamo anche che il denominatore è sempre negativo in I, pertanto anche il numeratore deve essere negativo affinchè si possano trovare delle soluzioni.
La radice è sempre positiva, quindi sappiamo che $x<0$.
Poi risolviamo e ci teniamo solo l'intervallo negativo.
Osservando $(xsqrt(4-x^2))/(x^2-4)>1$ sappiamo anche che il denominatore è sempre negativo in I, pertanto anche il numeratore deve essere negativo affinchè si possano trovare delle soluzioni.
La radice è sempre positiva, quindi sappiamo che $x<0$.
Poi risolviamo e ci teniamo solo l'intervallo negativo.
"@melia":
Il problema è la $x$ che sta a numeratore del primo membro, è lei che quando la elevi al quadrato diventa sempre positiva, mentre in generale non lo è.
"Gi8":
$ \frac{x\sqrt{-x^2+4}}{x^2-4}> 1 $
Ok, sicuramente $1$ è positivo, ma il primo membro?
Se al posto del primo membro ci fosse $-3$, avremmo $-3 >1$, che è falsa.
Ma se seguiamo il tuo ragionamento, ovvero di elevare tutto al quadrato, abbiamo $9 >1$, che è vera.
Riassumendo: in generale, $A > B$ non è equivalente a $A^2 > B^2$.
(però, se $A>0$ e $B>0$, allora $A > B$ è equivalente a $A^2 > B^2$)
Ok ho capito.
Ho provato a rifare i calcoli ponendo tutto a denominatore comune.
Dunque:
$\frac{x\sqrt{-x^2+4}-x^2+4}{x^2-4}>\0$
Arrivato a questo punto devo studiare singolarmente numeratore e denominatore, giusto?
N: $x\sqrt{-x^2+4}-x^2+4>0$
D: $x^2-4>0$
Per risolvere il numeratore sposto i termini a destra:
$x\sqrt{-x^2+4}>x^2-4$
Arrivato a questo punto cosa devo fare? Ho pensato questo:
$ { ( x\left(-x^2+4\right)\ge 0 ),( x^2-4\ge 0 ),( x^2\left(-x^2+4\right)>\left(x^2-4\right)^2 ):} uu { ( x\left(-x^2+4\right)\ge 0 ),( x^2-4< 0 ):} $
E' corretto fin qui o sto sbagliando ancora?
Penso sia sbagliato.
Una mia proposta su come procedere: abbiamo $ \frac{x\sqrt{-x^2+4}}{x^2-4}> 1 $
Condizioni di esistenza: $ -2 < x < 2$.
Notiamo che se $x >0$ il primo membro è negativo (perchè?), e quindi non potrà mai essere maggiore di $1$. Quindi possiamo limitarci a considerare $-2 < x <= 0$.
Porto tutto a primo membro, e faccio denominatore comune.
Abbiamo $\frac{x\sqrt{-x^2+4}-x^2+4}{x^2-4}>\0$, con condizione $-2 < x <= 0$.
Ora, con quella condizione il denominatore è negativo. Quindi, affinché la frazione sia positiva, dobbiamo avere il numeratore negativo.
Possiamo pertanto limitarci a risolvere $x\sqrt{-x^2+4}-x^2+4 < 0$, con la condizione $ -2 < x <=0$.
Porto a destra $xsqrt(-x^2+4)$, ottenendo $-x^2+4 < -x sqrt(-x^2+4)$.
Ora posso elevare al quadrato (perchè?)...
Condizioni di esistenza: $ -2 < x < 2$.
Notiamo che se $x >0$ il primo membro è negativo (perchè?), e quindi non potrà mai essere maggiore di $1$. Quindi possiamo limitarci a considerare $-2 < x <= 0$.
Porto tutto a primo membro, e faccio denominatore comune.
Abbiamo $\frac{x\sqrt{-x^2+4}-x^2+4}{x^2-4}>\0$, con condizione $-2 < x <= 0$.
Ora, con quella condizione il denominatore è negativo. Quindi, affinché la frazione sia positiva, dobbiamo avere il numeratore negativo.
Possiamo pertanto limitarci a risolvere $x\sqrt{-x^2+4}-x^2+4 < 0$, con la condizione $ -2 < x <=0$.
Porto a destra $xsqrt(-x^2+4)$, ottenendo $-x^2+4 < -x sqrt(-x^2+4)$.
Ora posso elevare al quadrato (perchè?)...
Ciao a tutti !
Scusate se intervengo nella discussione. Fermo restando che anche per me il metodo proposto da Gi8 è il migliore in quanto veloce e ragionato, credo anche che si possa risolvere in maniera più "brutale" e più lunga nel seguente modo, di cui vorrei conferma da voi:
fatte le condizioni di esistenza $-2\0 $ si può procedere raccogliendo il numeratore e riscrivendo il denominatore nel seguente modo: $(sqrt(-x^2+4)(x+sqrt(-x^2+4)))/(sqrt(-x^2+4))^2<0$ e, semplificando, $(x+sqrt(-x^2+4))/sqrt(-x^2+4)<0$ e, a questo punto, studiare numeratore e denominatore svolgendo i classici sistemi tipici delle disequazioni irrazionali.
Ripeto, questo è un metodo del tipo "a testa bassa, senza riflettere" che non condivido, ma che piace tanto a molti studenti delle superiori. Anche io preferisco il suggerimento di Gi8, che saluto, e vorrei solo avere da voi conferma della legittimità di quest'altro metodo (che credo sia corretto in quanto mi pare di aver usato passaggi matematici leciti, ma mai dire mai).
Saluti
Scusate se intervengo nella discussione. Fermo restando che anche per me il metodo proposto da Gi8 è il migliore in quanto veloce e ragionato, credo anche che si possa risolvere in maniera più "brutale" e più lunga nel seguente modo, di cui vorrei conferma da voi:
fatte le condizioni di esistenza $-2
Ripeto, questo è un metodo del tipo "a testa bassa, senza riflettere" che non condivido, ma che piace tanto a molti studenti delle superiori. Anche io preferisco il suggerimento di Gi8, che saluto, e vorrei solo avere da voi conferma della legittimità di quest'altro metodo (che credo sia corretto in quanto mi pare di aver usato passaggi matematici leciti, ma mai dire mai).
Saluti
@BayMax, Ciao a te!
La tua mi sembra una ottima strategia.
Solo una cosa: credo che tu abbia dimenticato un segno, nel trasformare il denominatore. Infatti non è vero che $x^2-4$ è uguale a $(sqrt(-x^2+4))^2$: nell'intervallo $(-2,2)$, il primo è negativo, il secondo è positivo.
La tua mi sembra una ottima strategia.
Solo una cosa: credo che tu abbia dimenticato un segno, nel trasformare il denominatore. Infatti non è vero che $x^2-4$ è uguale a $(sqrt(-x^2+4))^2$: nell'intervallo $(-2,2)$, il primo è negativo, il secondo è positivo.
Ciao @Gi8 !
Grazie della risposta !
Hai perfettamente ragione ! Nella fretta ho dimenticato di invertire il verso della disequazione. Ho provveduto a correggere il messaggio. Ora dovrebbe andare
Grazie della risposta !
Hai perfettamente ragione ! Nella fretta ho dimenticato di invertire il verso della disequazione. Ho provveduto a correggere il messaggio. Ora dovrebbe andare
Perchè non semplifichi ?
$$\frac{x\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}-4}-1>0$$
$$-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}-1>0$$
$$-x-\sqrt{4-x^{2}}>0$$
$$\sqrt{4-x^{2}}<-x$$
\begin{cases}
4-x^{2}>0\\
-x>0\\
4-x^{2}
$$\frac{x\sqrt{4-x^{2}}}{x^{2}-4}-1>0$$
$$-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}-1>0$$
$$-x-\sqrt{4-x^{2}}>0$$
$$\sqrt{4-x^{2}}<-x$$
\begin{cases}
4-x^{2}>0\\
-x>0\\
4-x^{2}
Ciao @qualcuno !
Se il tuo messaggio era in risposta al mio allora si, hai proprio ragione, non ci avevo fatto caso. Semplificando si fa prima. Grazie della risposta !
Forse l'unico appunto lo farei sul sistema togliendo il simbolo di uguale alla prima disequazione, essendo la radice anche al denominatore e, dunque, non potendo essere il radicando $=0$ ma solo $>0$
Ovviamente non abbiamo studiato il denominatore perché sappiamo che, essendo una radice pari, è sempre positivo, a patto di esistere e questo ci ha portato ad eliminarlo.
Se il tuo messaggio era in risposta al mio allora si, hai proprio ragione, non ci avevo fatto caso. Semplificando si fa prima. Grazie della risposta !
Forse l'unico appunto lo farei sul sistema togliendo il simbolo di uguale alla prima disequazione, essendo la radice anche al denominatore e, dunque, non potendo essere il radicando $=0$ ma solo $>0$
Ovviamente non abbiamo studiato il denominatore perché sappiamo che, essendo una radice pari, è sempre positivo, a patto di esistere e questo ci ha portato ad eliminarlo.
@BayMax
hai ragione ho corretto
hai ragione ho corretto
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