Disequazione in modulo elevando al quadrato
Salve,
ho la seguente disequazione: $2x-|x+3|+1>0$ che risolta normalmente dà $S=(2;+\infty)$
Però dal liceo ricordo anche che volendo queste si potevano risolvere elevando al quadrato quindi ponendo
$(2x+1)^2>(x+3)^2$ ma quali condizioni di esistenza devono essere poste? Al momento mi sfuggono e ho in mente solo che (a ragionamento) quello che ho detto è vero solo se entrambi sono maggiori di 0...
Grazie
ho la seguente disequazione: $2x-|x+3|+1>0$ che risolta normalmente dà $S=(2;+\infty)$
Però dal liceo ricordo anche che volendo queste si potevano risolvere elevando al quadrato quindi ponendo
$(2x+1)^2>(x+3)^2$ ma quali condizioni di esistenza devono essere poste? Al momento mi sfuggono e ho in mente solo che (a ragionamento) quello che ho detto è vero solo se entrambi sono maggiori di 0...
Grazie
Risposte
Ciao!
Certo che,per elevare al quadrato ambo i membri d'una disequazione e,a cuor leggero,mantenere inalterato il suo verso,
occorre che essi siano entrambi non negativi
(altrimenti,ad esempio,potrebbero saltarti fuori che son vere cose del tipo $3> -5rArr(3)^2>(-5)^2$..),
o al più entrambi non negativi
(ma a patto di cambiare il verso..);
nel tuo caso quel valore assoluto è non negativo in tutto $RR$,
ma lo stesso non può dirsi di $2x+1$:
tocca allora a te imporre che lo sia,
fermo restando che a quel punto è contemporaneamente legittimo quadrare ambo i membri come hai fatto
(e che,nel caso in cui scegliessi un qualunque valore di x per il quale $2x+1$ fosse negativo,
non sarebbe soluzione della disequazione $2x+1>|x+3|$ perchè non sarebbe certo vera la disuguaglianza ottenuta sostituendo quel valore in essa..)!
Saluti dal web.
Certo che,per elevare al quadrato ambo i membri d'una disequazione e,a cuor leggero,mantenere inalterato il suo verso,
occorre che essi siano entrambi non negativi
(altrimenti,ad esempio,potrebbero saltarti fuori che son vere cose del tipo $3> -5rArr(3)^2>(-5)^2$..),
o al più entrambi non negativi
(ma a patto di cambiare il verso..);
nel tuo caso quel valore assoluto è non negativo in tutto $RR$,
ma lo stesso non può dirsi di $2x+1$:
tocca allora a te imporre che lo sia,
fermo restando che a quel punto è contemporaneamente legittimo quadrare ambo i membri come hai fatto
(e che,nel caso in cui scegliessi un qualunque valore di x per il quale $2x+1$ fosse negativo,
non sarebbe soluzione della disequazione $2x+1>|x+3|$ perchè non sarebbe certo vera la disuguaglianza ottenuta sostituendo quel valore in essa..)!
Saluti dal web.
Si può elevare a quadrato solo quando si ha la certezza che entrambi i membri sono positivi. Nel tuo caso, poiché la disequazione può essere scritta come $2x+1>|x+3|$, il ragionamento è: il primo membro deve essere positivo perché è maggiore di un numero non-negativo; posso allora elevare a quadrato. Devi quindi risolvere il sistema
${(2x+1>0),((2x+1)^2>(x+3)^2):}$
P.S. Lascio questo intervento, anche se quello di theras dice circa le stesse cose, in modo forse più dettagliato.
${(2x+1>0),((2x+1)^2>(x+3)^2):}$
P.S. Lascio questo intervento, anche se quello di theras dice circa le stesse cose, in modo forse più dettagliato.
Grazie mille ad entrambi 
A presto!
A presto!
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