Disequazione in modulo
Allora ho la disequazione
Ottengo i due sistemi:
1 sistema
come soluzione mi viene
il secondo sistema invece mi viene impossibile per delta minore di 0
Quindi io penserei che la soluzione è la prima trovata in alto, e invece la soluzione è x compreso tra -4 e 3, perché? (con essi compresi)
[math]|x^2 + 3x| \leq 2(x+6)[/math]
Ottengo i due sistemi:
1 sistema
[math]\begin{cases} x0 \\
x^2+3x \leq 2x+12\end{cases} [/math]
x^2+3x \leq 2x+12\end{cases} [/math]
come soluzione mi viene
[math]-4 \leq x < -3[/math]
e [math]0 < x \leq 3[/math]
il secondo sistema invece mi viene impossibile per delta minore di 0
Quindi io penserei che la soluzione è la prima trovata in alto, e invece la soluzione è x compreso tra -4 e 3, perché? (con essi compresi)
Risposte
Bada bene che si ha
Ecco, alla luce di ciò, rivedi i conti del secondo sistema (discriminante negativo ok, ma...)
e gli "estremi" del primo ;)
[math]\left|x^2+3x\right| \le 2(x+6) \Leftrightarrow \begin{cases}x \le -3 \, \vee \, x \ge 0 \\ +\left(x^2+3x\right)\le 2(x+6)\end{cases} \cup \begin{cases}-3 < x < 0 \\ -\left(x^2+3x\right)\le 2(x+6)\end{cases}\\[/math]
Ecco, alla luce di ciò, rivedi i conti del secondo sistema (discriminante negativo ok, ma...)
e gli "estremi" del primo ;)
Ok credo di aver capito, quindi nonostante la seconda disequazione del secondo sistema sia impossibile io devo comunque considerare la prima 'soluzione' cioè di -3 e 0 compresi tra x, giusto? Anche perché adesso ho unito i due sistemi e mi viene..
No, se quella disequazione fosse davvero impossibile, ossia verificata per alcuna x reale, il sistema non avrebbe soluzione e quindi l'unione si ridurrebbe alla soluzione del primo.
Invece, quando si risolvono le disequazioni con polinomi di secondo grado, bisogna considerare che essi graficamente sono rappresentabili da delle parabole. Quindi, quando il discriminante è negativo sta solo a significare che non intersecano l'asse delle ascisse per alcuna x. Ma allora non è difficile capire che si possono declinare due casi: o la parabola è posta interamente nel semipiano negativo delle ordinate o interamente in quello positivo. Per capire questo basta osservare il segno del coefficiente del monomio di secondo grado: se ha segno negativo la parabola è posta nel semipiano negativo, altrimenti in quello positivo.
In questo caso, in particolare, si ha:
dunque la parabola sta interamente nel semipiano positivo delle ordinate e quindi la disequazione è sempre soddisfatta (dato che è soddisfatta per valori positivi, tuttalpiù nulli).
A questo punto dovrebbe tornarti anche tutto il resto ;)
Invece, quando si risolvono le disequazioni con polinomi di secondo grado, bisogna considerare che essi graficamente sono rappresentabili da delle parabole. Quindi, quando il discriminante è negativo sta solo a significare che non intersecano l'asse delle ascisse per alcuna x. Ma allora non è difficile capire che si possono declinare due casi: o la parabola è posta interamente nel semipiano negativo delle ordinate o interamente in quello positivo. Per capire questo basta osservare il segno del coefficiente del monomio di secondo grado: se ha segno negativo la parabola è posta nel semipiano negativo, altrimenti in quello positivo.
In questo caso, in particolare, si ha:
[math]-\left(x^2+3x\right)\le 2(x+6) \; \; \Leftrightarrow \; \; +1x^2+5x+12 \ge 0\\[/math]
[math]\Rightarrow \; \Delta = -23 < 0\,, \; \; a = + 1 > 0\\[/math]
dunque la parabola sta interamente nel semipiano positivo delle ordinate e quindi la disequazione è sempre soddisfatta (dato che è soddisfatta per valori positivi, tuttalpiù nulli).
A questo punto dovrebbe tornarti anche tutto il resto ;)
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