Disequazione in due variabili

[sisterioso]

Vorrei gentilmente chiedere un aiuto anche su un secondo tipo di disequazioni, mi accorgo che svolgendo: $x^2-y^2>0$, posso procedere in due modi:


1)
$x-y>0\Rightarrowy $x+y>0\Rightarrowy>$$-x$

$x-y<0\Rightarrowy>x$
$x+y<0\Rightarrowy<-x$

2)
Poiché $x^2-y^2>0 <=> |x|>|y|$
ho:
•x>y se x>0 e y>0 cioè nel primo quadrante
•-x>-y se x<0 e y<0 cioè y>x (cambia verso) qui siamo nel terzo quadrante
•x>-y se x>0 e y<0 nel quarto quadrante
•-x>y se x<0 e y>0 cioè x<-y nel secondo quadrante

Quindi ho di nuovo: $-x0$ (primo sistema punto 1). Se, invece, $x<0$, ho $x
MA quindi mi chiedo le soluzioni non sono proprio le stesse perché infatti io ho la stessa equazione (ad es) $-x0. Non è la stessa cosa. Come le faccio coincidere?

Qualcuno saprebbe fugarmi questo dubbio

[axpgn]

Perché non studi questa $(x-y)(x+y)>0$?

[ingres]

"sisterioso":Quindi ho di nuovo: −x
Non è proprio vero. Se noti ad esempio in questo caso

"sisterioso":•-x>-y se x<0 e y<0 cioè y>x (cambia verso) qui siamo nel terzo quadrante

la condizione che ottieni è
$x Quindi se tieni conto correttamente dei vari segni ritrovi la congruenza dei due risultati.

[sisterioso]

"axpgn":Perché non studi questa $(x-y)(x+y)>0$?

E' esattamente quello che ho studiato al punto 1)

la condizione che ottieni è
x Quindi se tieni conto correttamente dei vari segni ritrovi la congruenza dei due risultati.

Devi scusarmi ma non ho mica capito sai.

a me pare che analizzando il primo sistema al punto 1) ottengo la relazione (soffermiamoci solo sulla prima delle due): $−xnon si richiede x>0 o altre condizioni (quindi tecnicamente posso avere x anche negative).

Quando vado a studiare il punto 2) è vero che ottengo: $−xqui si richiede x>0, quindi ho meno soluzioni di prima

[axpgn]

"sisterioso":[quote="axpgn"]Perché non studi questa $(x-y)(x+y)>0$?

E' esattamente quello che ho studiato al punto 1)[/quote]
Non proprio, non è necessario studiare DUE sistemi ma basta il primo e peraltro non mi pare di vedere le soluzioni di quel sistema

[sisterioso]

non mi pare di vedere le soluzioni di quel sistema

A me invece pare di averle scritte in conclusione al messaggio .

[...] $−x
Che sono identiche a quelle ottenute dal metodo 2) tuttavia il metodo 2) richiede una restrizione x>0, x<0 che io non vedo nel metodo 1) (e ripeto il dubbio è questo).
Purtroppo non capisco proprio a cosa stai alludendo. Se vuoi scriverlo esplicitamente cercherò di capire...

Per il resto i dubbi sono quelli esposti sopra nella mia risposta a ingres e non sono ancora riuscito a capire come risolverli .

[sisterioso]

Ho comunque provato a riragionarci un po' ma rimango comunque con molti dubbi:

$x-y>0\Rightarrowy $x+y>0\Rightarrowy>$$-x$

qui abbiamo come soluzione $−x0$ proprio come nel metodo 2).
Tuttavia mi accorgo che per $x<0$ avrei -x poistiva quindi le soluzioni: $y -x$ che col metodo 2) non escono. Infatti questo dice che le y maggiori di -x (che è positiva -x) e le y minori di x (negative le x) sono soluzioni no?


$x-y<0\Rightarrowy>x$
$x+y<0\Rightarrowy<-x$
Il secondo forse tu dici che si riduce al primo perché avrei:
$x0 che da soluzioni esattamente come il primo. Corretto?

Grazie mille.

[4131]

Se ti fai un disegnino è più facile... vedi qui.

[tex](x-y)(x+y)>0[/tex]

Studi il segno dei due fattori

[tex]\begin{align*}
&x-y>0\;\;\leftrightarrow\;\;y< x\\
&x+y>0\;\;\leftrightarrow\;\;y> -x
\end{align*}[/tex]

Il primo fattore è positivo nella regione di piano sotto la bisettrice del primo e terzo quadrante (regione rossa), il secondo fattore è positivo nella regione di piano sopra la bisettrice del secondo e quarto quadrante (regione blu), pertanto le regioni di piano in cui [tex]x^2-y^2>0[/tex] sono quelle in cui i due fattori sono o entrambi positivi (regione viola) o entrambi negativi (regione bianca), ovvero quelle comprese tra [tex]y=-\lvert x\rvert[/tex] e [tex]y=\lvert x\rvert[/tex] (regione verde), vale a dire [tex]-\lvert x\rvert< y < \lvert x\rvert[/tex].

[tex]\begin{array}{ccc}
&y> x & y< x\\
y> -x &(+)\times (-)=(-) & {\color{red}(+)\times(+)=(+)}\\
y< -x& {\color{red} (-)\times(-)=(+)}&(-)\times(+)=(-)
\end{array}[/tex]

Per quanto riguarda l'altra,

[tex]\lvert x\rvert >\lvert y\rvert[/tex]

è la stessa cosa che scrivere

[tex]-\lvert x\rvert < y < \lvert x\rvert .[/tex]

[ingres]

"sisterioso":quindi −x0 proprio come nel metodo 2)

Corretto

"sisterioso":Infatti questo dice che le y maggiori di -x (che è positiva -x) e le y minori di x (negative le x) sono soluzioni no?

No. Ad esempio y=2 e x=-1 ti da 1-4 <0. E analogamente lo stesso succede per y=-2 e x=-1

Se poi prendi l'altra condizione speculare alla precedente che ottieni dalle seconde due equazioni del Metodo 1 con lo stesso ragionamento fatto sopra puoi concludere come segue
"x

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