Disequazione goniometrica semplice, eppure...

[Dlofud]

Ciao ragazzi, ho un piccolo inconveniente con una disequazione goniometrica che mi sembra molto semplice - come sempre - ma non torna.

Mi scuso, ma devo postarvi una foto dei miei calcoli, perchè riprodurli tutti col linguaggio del forum mi costerebbe veramente molto tempo... spero si capisca qualcosa!

Ecco:

Fino a dove sono arrivato, mi sembra d'aver fatto tutto correttamente, ma da lì come arrivo al risultato del testo...?

Grazie mille in anticipo!

[@melia]

non è vero che $sin=sqrt(1-cos^2)$, ma vale $sin= +-sqrt(1-cos^2)$ e poi hai risolto una disequazione irrazionale senza ricorrere alle condizioni di esistenza e alla concordanza dei segni.

[Dlofud]

Hai perfettamente ragione, è vero, grazie.

Dovrei quindi impostare due nuove disequazioni, una con sin= +sqrt(1-cos^2) ed una con sin= -sqrt(1-cos^2), e poi risolverle entrambe con i sistemi con condizioni di esistenza e concordanza dei segni delle disequazioni irrazionali, melia?

[Obidream]

Io lascerei perdere quella via, Matematicamente ti viene incontro con degli appunti che comprendono questa tipologia di disequazioni

[Dlofud]

E' vero, ma avevo provato a risolverla per quelle via perchè con le formule parametriche non riuscivo ad uscirne, qualcuno potrebbe farmi vedere qualche passaggio, per favore?

Io arrivo ad avere t=1 e t= -2 + sqrt(3), che non ho idea di come possano portare al risultato corretto... X.X

[@melia]

Io preferisco le altre due forme di soluzione.

Quella grafica.
Posto $sinx=Y$ e $cosx=X$ la disequazione si trasforma nel sistema misto
$\{(Y + sqrt3X>1 ),(X^2 + Y^2 = 1):}$
Disegni la retta $Y + sqrt3X=1$ e la circonferenza goniometrica $X^2 + Y^2 = 1$, individui il semipiano originato dalla retta che verifica la disequazione $Y + sqrt3X>1$ (è quello che non contiene l'origine degli assi).
La soluzione del sistema è l'arco di circonferenza contenuto nel semipiano.

Quella con l'arco aggiunto
$sinx+sqrt3cosx>1$, moltiplico per $1/2$ in modo tale che il coefficiente del seno e quello del coseno siano coseno e seno di uno stesso angolo e ottengo

$1/2sinx+sqrt3/2cosx>1/2$, cerco l'angolo il cui coseno vale $1/2$ e il seno vale $sqrt3/2$, che è $pi/3$ perciò

$cos (pi/3) sinx + sin(pi/3) cosx>1/2$ che è lo sviluppo del seno di una somma di archi:

$sin(x+pi/3)>1/2$ il seno è maggiore di un mezzo tra $pi/6$ e $5pi/6$ quindi

$pi/6+2kpi

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[Dlofud]

Grazie melia!

Effettivamente con il metodo grafico la disequazione diventa molto più trattabile, sono riuscito ad arrivare alla soluzione proposta dal libro con giusto un po' di attenzione ai calcoli.

(Però, ancora mi incuriosisce come si sarebbe potuti arrivare alla stessa soluzione usando le formule parametriche...!)

Ora, cercando di studiare un po' da un libro, ho trovato un altro intoppo:

E' vero che \(\displaystyle \sqrt3\sin(x) - \cos(x) >0 \) si può riscrivere come:

\(\displaystyle \cot(x) < \sqrt3 \) (cotangente intendo)

ed il risultato è \(\displaystyle \pi/6
Perchè con il metodo grafico ottengo un risultato diverso, con un intervallo più piccolo, uhm. Eppure mi pare che i calcoli qui siano perfetti.

[@melia]

Il problema usando le formule parametriche è che arrivi ad ottenere la tangente di $alpha/2$, se l'angolo soluzione è $pi/6$ ottieni la sua metà $pi/12$ che non è tra quelli più usati. Comunque torno ai tuoi calcoli dove hai ottenuto $t=1$ e $t=-2+sqrt3$, nella disequazione dovrebbero dare $-2+sqrt3

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[@melia]

"Dlofud":
Ora, cercando di studiare un po' da un libro, ho trovato un altro intoppo:

E' vero che \(\displaystyle \sqrt3\sin(x) - \cos(x) >0 \) si può riscrivere come:

\(\displaystyle \cot(x) < \sqrt3 \) (cotangente intendo)

NO!!!!!!
Hai diviso per un fattore di cui non conosci il segno: $cosx$

[Dlofud]

Allora, wow, grazie per questo supporto, melia!

Mi guardo con attentione tutti i passaggi di calcolo che mi hai mostrato!

"@melia":[quote="Dlofud"]
Ora, cercando di studiare un po' da un libro, ho trovato un altro intoppo:

E' vero che \( \displaystyle \sqrt3\sin(x) - \cos(x) >0 \) si può riscrivere come:

\( \displaystyle \cot(x) < \sqrt3 \) (cotangente intendo)

NO!!!!!!
Hai diviso per un fattore di cui non conosci il segno: $ cosx $[/quote]

Questo mi è nuovo però!

Non mi basta sapere che quell'espressione non sarebbe verificata quando $ cosx $ è uguale a 0 (ed eventualmente però _aggiungere_ quella soluzione a quelle individuate se verifica la disequazione)?

Il segno come mai è rilevante...? (Domanda sciocca, lo percepisco, ma, uhm.)

[axpgn]

Perché cambia il verso della disequazione ... ahiahiahi ...

[Dlofud]

Oh!

Vero, vero! Miseria, questa è davvero una svista grande... Grazie per questo ulteriore chiarimento!