Disequazione goniometrica non elementare

[TR0COMI]

Un particolare tipo di disequazione goniometrica:
$senx+cosx<=0$.
Un esercizio simile viene risolto, dal libro, sovrapponendo i grafici di seno e coseno, per cui,giunto a $senx<=-cosx$ ho pensato di farlo anche qui. Devo vedere dove il seno è minore o uguale di "meno coseno". Disegno il grafico del seno, e qui ci siamo; ma il grafico del coseno come lo faccio negativo? E inoltre: come trovo i punti di intersezione tra i due grafici?
Avevo altrimenti pensato di elevare tutto al quadrato, e dalla prima relazione fondamentale ricondurmi a una sola incognita... ha senso? c'è qualche maniera più semplice di risolvere il tutto?

Grazie anticipatamente.

[Camillo]

Per tracciare il grafico di $- cosx $ basta che disegni il grafico di $ cos x $ e poi lo ribalti specularmente rispetto all'asse $ x $ .
Per determinare i punti in cui $sen x = -cos x $ risolvi l'equazione .
Dividendo ambo i membri per $ cos x $ ( lecito in quanto i valori per cui $cos x = 0 $ non sono soluzione dell'equazione ) ottieni $ tan x =-1 $ che risolvi facilmente.

[TR0COMI]

@Camillo
Capito. Un'equazione del genere $3senx-sqrt(3)cosx<=0$ invece come dovrei risolverla?

[giammaria2]

Sia la tua prima disequazione che la seconda sono lineari e il rapporto fra i coefficienti è la tangente di un angolo speciale. In questi casi conviene moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso coefficiente, in modo da ottenere seno e coseno di quell'angolo. Per la prima moltiplichi per $\frac(\sqrt 2) 2$ ottenendo $sen 45sen x+cos 45cos x \le0$ (seno e coseno di 45° sono scambiabili fra loro); per la seconda dividi per $2 \sqrt 3$ ottenendo $sen 60sen x-cos 60cos x \le0$ (in alternativa potevi usare seno e coseno di 30°). In tutti i casi ottieni una formula di somma e arrivi facilmente alla fine.

[TR0COMI]

@giammaria
Grazie anche a te, ma che intendi quando dici che ottengo una "formula di somma"? E inoltre, come risolvere la seconda disequazione senza applicare la "particolarità" di cui hai parlato (insomma se dovessi risolverla "normalmente" come dovrei fare)?

[@melia]

Dovresti risolverla graficamente mettendo a sistema la circonferenza goniometrica con la retta $3y-sqrt3x=0$, trovi i punti di intersezione. Poi controlli quale dei due semipiani individuati dalla retta $3y-sqrt3x=0$ è quello che verifica la condizione $3y-sqrt3x<=0$ e prendi come soluzioni gli archi in cui la circonferenza goniometrica interseca il semipiano.

Anche il metodo indicato da gianmaria è considerato un modo "normale" per risolvere le disequazioni lineari, anzi è il più normale che mi viene in mente.

[giammaria2]

"TR0COMI": che intendi quando dici che ottengo una "formula di somma"?

Intendo che ottieni una formula del tipo sen (x+y)=... o simili (anche somma algebrica, cioè col -); di solito vengono studiate prima delle disequazioni goniometriche, ma se non le hai ancora fatte devi ovviamente usare altri metodi. In generale, davanti a ogni equazione o disequazione goniometrica il metodo migliore è chiedersi a quale categoria appartengono e usare poi il metodo suggerito per quella categoria.