Disequazione goniometrica elementare

[TR0COMI]

Ho un dubbio nella risoluzione della seguente equazione goniometrica elementare, da risolvere in $R$:
$3tgx+sqrt(3)<0$.
Ecco il mio procedimento:
1-sono giunto a $tgx<-sqrt(3)/3$ e ho scritto l'equazione associata $tgx=-sqrt(3)/3$;
2-ho risolto l'equazione associata, che ha come soluzioni $x=-\pi/6+k\pi$; aggiungendo $\pi$ poichè la tangente ha periodo $\pi$, ho preso l'angolo come positivo: $x=5/6\pi+k\pi$ (posso farlo?);
3-ho risolto la disequazione utilizzando i due metodi grafici possibili.

Nel primo metodo, ho preso l'intervallo tra $0$ e $\pi$ e ho disegnato il grafico della tangente, intersecandolo con la retta di equazione $y=-sqrt(3)/3$. Il punto di intersezione trovato ha ascissa $5/6 \pi$. Ho preso come soluzioni quelle strettamente "sotto" la retta, trovandomi come risultato "periodicizzato" $\pi/2+k\pi Fin qui credo sia giusto, voi vi trovate?

Nel secondo metodo, ho disegnato la circonferenza goniometrica e la retta che la interseca nell'origine degli archi $E(1;0)$. Ho disegnato l'angolo orientato $5/6 \pi$ prolungandolo e intersecando la retta nel punto $T$ e la circonferenza stessa in un altro punto, che individua l'angolo $11/6 \pi$ (che poi sarebbe $-\pi/6$).
Adesso, stando al libro, devo scegliere gli archi (o meglio l'arco in questo caso, perchè comunque poi dovrò aggiungere il periodo $k\pi$) in cui la tangente assume "valori negativi decrescenti".
Ricordando il grafico della funzione, non vi sono dubbi che essa decresce negativamente tra $\pi/2$ e $\pi$.

Qui io però avrei due opzioni: potrei prendere l'arco $\pi/2 Insomma il dubbio principale è proprio nella "scelta" degli archi nel secondo metodo.
Qualcuno mi illumina?
Grazie anticipatamente.

[Steven11]

"TR0COMI": aggiungendo $\pi$ poichè la tangente ha periodo $\pi$, ho preso l'angolo come positivo: $x=5/6\pi+k\pi$ (posso farlo?);

Certamente.

Nel primo metodo, ho preso l'intervallo tra $0$ e $\pi$ e ho disegnato il grafico della tangente, intersecandolo con la retta di equazione $y=-sqrt(3)/3$. Il punto di intersezione trovato ha ascissa $5/6 \pi$. Ho preso come soluzioni quelle strettamente "sotto" la retta, trovandomi come risultato "periodicizzato" $\pi/2+k\pi Fin qui credo sia giusto, voi vi trovate?

Mi trovo bene.

Qui io però avrei due opzioni: potrei prendere l'arco $\pi/2
Temo tu stia annegando in un bicchier d'acqua.
Non puoi scrivere a priori una cosa come
$pi Cioè mi stai dicendo che $x$ è più grande di $pi$ ma più piccolo di $5/6pi$, che a sua volta è più piccolo di $pi$.
Per intenderci con numeri facili, è come se ti dico
$10 Cioè $x$ più grande di $10$ ma più piccolo di $2$
Non esiste un numero siffatto, immagino ti sia chiaro questo.

Fammi sapere

[TR0COMI]

Grazie Steven....scusami, intendevo l'arco $5/6\pi
P.S. Era chiaro che non avrei potuto scrivere impunemente quella scemenza su un forum di matematici

[Steven11]

Rifacciamoci alla figura in basso.
La frase del libro in cui dice di scegliere archi in cui la tangente assume valori negativi decrescenti non so interpretarla ora, o perché fuori dal suo contesto, o per mancanza mia.
In ogni caso, ti illustro il procedimento generale.

E' fondamentale il grafico: se hai padronanza con quello, tutto si semplifica.
Allora, la disequazioni in pratica ti chiede quando, per quali archi, la tangente è minore di $-(sqrt3)/3$.
L'arco in cui assume il valore preciso è quello evidenziato con la retta rossa, ed è $5/6pi$.
Vedi bene che gli archi minori di $5/6pi$, fino a $pi/2$, vanno bene, perché la tangente va sempre più giù, come puoi vedere con le rette viola e verdi.
Quindi i valori dell'angolo vanno verso $pi/2$, escluso ovviamente, saprai il motivo.

Per contro, se pigli un angolo tra $5/6pi$ e $pi$, cioè quello evidenziato con la retta grossa marrone, la tangente esce dall'intervallo richiesto, vedi bene che l'intersezione con la retta $x=1$ c'è sopra il valore $-sqrt3/3$
Quindi non va.
Analogamente vedi che non possono andare nemmeno valori dopo $pi$ fino a $3/2pi$ (quelli dopo sì, sarebbero infatti i valori dell'intervallo buono più $pi$).

Forse non ho risposto alla tua domanda, ho dato una risposta generale e che comunque, se interiorizzata, ti consente di cavartela con queste facili disequazioni, di ogni tipo.

Fammi sapere, ciao.

[TR0COMI]

Ad una prima lettura della tua risposta ero quasi nel panico... poi rileggendo, ho capito che è più facile a farsi che a dirsi.
Ti faccio una sintesi (che serve soprattutto a me):
in pratica, una volta fatto il grafico, con circonferenza goniometrica, retta passante per $E(1;0)$ e dopo aver segnato gli angoli, nonchè dopo aver trovato il punto $T (1;-sqrt(3)/3)$ nel nostro caso, ragiono sugli archi. Dovendo qui prendere archi che intersecano la retta in punti con ordinata minore di $-sqrt(3)/3$ è visivamente intuitivo prendere gli archi suddetti, o meglio a questo punto un solo arco con l'aggiunta del periodo $\pi$.
C'è qualche cosa che non ho colto? Confermi il mio "riassuntino" ?

[Steven11]

Dovendo qui prendere archi che intersecano la retta

Ovviamente non sono gli archi ad intersecare, ma la retta passante per l'origine che forma con l'asse x l'angolo scelto.. etc. etc.

Salvo questa questione di terminologia, confermo quanto da te detto.

Ciao.