Disequazione goniometrica
Buonasera a tutti !
Eccomi ancora qui a chiedere il vostro aiuto con un esercizio (che in realtà ho risolto), ma del quale voglio chiedervi conferma.
Sia data la seguente disequazione goniometrica: $(cosx+1/tanx)/tanx>=-1$
Io ho proceduto nel seguente modo: sviluppando la tangente ottengo $(cosx+cosx/sinx+sinx/cosx)/(sinx/cosx)>=0$ cioè $(cos^2xsinx+cos^2x+sin^2x)/(sinxcosx)cosx/sinx>=0$ ossia $(cos^2xsinx+1)/sin^2x>=0$. Andando a studiare numeratore e denominatore ottengo il risultato cercato, cioè $x!=kpi/2, kinZ $. La mia domanda è la seguente: per studiare il numeratore ho solo ragionato sul fatto che $cos^2xsinx+1>=0 AA x in R$. E' possibile svolgere tale disequazione anche "matematicamente", cioè riuscendo magari a fattorizzarla o semplificarla ulteriormente ? C'è qualche formula goniometrica che mi permetta di evitare questo ragionamento ?
Ringrazio sin da ora quanti sapranno illuminarmi.
Saluti
Eccomi ancora qui a chiedere il vostro aiuto con un esercizio (che in realtà ho risolto), ma del quale voglio chiedervi conferma.
Sia data la seguente disequazione goniometrica: $(cosx+1/tanx)/tanx>=-1$
Io ho proceduto nel seguente modo: sviluppando la tangente ottengo $(cosx+cosx/sinx+sinx/cosx)/(sinx/cosx)>=0$ cioè $(cos^2xsinx+cos^2x+sin^2x)/(sinxcosx)cosx/sinx>=0$ ossia $(cos^2xsinx+1)/sin^2x>=0$. Andando a studiare numeratore e denominatore ottengo il risultato cercato, cioè $x!=kpi/2, kinZ $. La mia domanda è la seguente: per studiare il numeratore ho solo ragionato sul fatto che $cos^2xsinx+1>=0 AA x in R$. E' possibile svolgere tale disequazione anche "matematicamente", cioè riuscendo magari a fattorizzarla o semplificarla ulteriormente ? C'è qualche formula goniometrica che mi permetta di evitare questo ragionamento ?
Ringrazio sin da ora quanti sapranno illuminarmi.
Saluti
Risposte
Se è giusto il ragionamento che hai fatto, non vedo perché sminuirlo e cercare un altro modo di fare più "matematico" a tuo dire? Ragionamenti come i tuoi sono più che accetti, visto che denotano una tua flessibilità mentale. Se vuoi ridirla in "matematichese" puoi fare così. Sapendo che \[-1 \le \sin x \le 1\] e che \(0\le\cos^2 x \le 1\) per ogni \(x \in \mathbb R\), si ha (Esercizio: perché? applica i principi di equivalenza e la transitività e vedi...) \[-1 \le \cos^2 x \sin x \le 1\] ovvero (sempre con i principi di equivalenza) \[0\le \cos^2 x \sin x +1\le 2\,.\] Insomma: la tua conclusione.
"BayMax":
$cos^2xsinx+1>=0 AA x in R$ poiché dato dalla somma di 1 con un prodotto di fattori uno dei quali sempre positivo e l'altro compreso tra -1 e 1.
Questo ragionamento è sbagliato: ad esempio, $2sinx+1$ soddisfa alle ipotesi indicate ma può diventare negativo.
Potevi invece partire da $sinx>=-1$ che, moltiplicata per il positivo $cos^2x$, dà
$cos^2xsinx>=-cos^2x$
Aggiungendo 1 ad entrambi i membri, trovi
$"numeratore">=1-cos^2x=sin^2x>=0$
Indrjo Dedej ha fatto un ragionamento simile al mio, ampliandolo a comprendere il $<=2$
@giammaria, hai ragione.
@BayMax, altro esercizio: correggi l'affermazione che hai fatto e che ti ha evidenziato giammaria in modo da renderla vera.
@BayMax, altro esercizio: correggi l'affermazione che hai fatto e che ti ha evidenziato giammaria in modo da renderla vera.
Grazie ad entrambi !! @Indrjo Dedej @giammaria. Ho cancellato dal messaggio la parte errata indicata da giammaria. Dunque consigliate di procedere come ho fatto io con un ragionamento ? Non esistono formule goniometriche che permettano di esprimere la disequazione iniziale come prodotto e rapporto di termini riconducibili a disequazioni elementari o facilmente studiabili ?
Grazie ancora !!
Saluti
Grazie ancora !!
Saluti
Le formule esistono: basta ricordare che $cos^2x=1-sin^2x$ ed ottieni un'equazione nel solo seno, che risolvi. Purtroppo è un'equazione di terzo grado e la sua soluzione è tutt'altro che immediata; molto meglio ricorrere al ragionamento (che è sempre l'arma migliore).
Ripensandoci, mi è venuto in mente un ragionamento simile al tuo (quello cancellato) e che quindi può forse convincerti meglio; in sostanza è però la stessa cosa delle precedenti soluzioni.
In valore assoluto, seno e coseno sono minori o uguali ad 1, quindi lo è anche $|cos^2xsinx|$; anzi, non può esserci l'uguale perché richiederebbe che entrambi i fattori avessero valor assoluto 1. La somma in esame è quindi sempre positiva.
In valore assoluto, seno e coseno sono minori o uguali ad 1, quindi lo è anche $|cos^2xsinx|$; anzi, non può esserci l'uguale perché richiederebbe che entrambi i fattori avessero valor assoluto 1. La somma in esame è quindi sempre positiva.
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