Disequazione goniometrica

[Giotto44]

Salve,
ho questa disequazione $ sin (x-pi/3)>=0 $
Ho pensato di usare le formule di sottrazione del seno e ottenere
$ 1/2 sin x-sqrt 3/2cos x>=0 $
quindi
$ sin x>=sqrt 3cos x $

per risolvere questa ho pensato di passare alla tangente dividendo per $ cos x $, quindi
$ tan x>=sqrt 3 $ .

le soluzioni di questa disequazione sono $ pi/3+k pi<=x<=pi /2+k pi $ .

Sono queste le soluzioni della disequazione iniziale?
E' giusto il procedimento?

[Zero87]

Il procedimento non è del tutto giusto perché c'è un errore che rimane sempre un po' nell'ombra nel caso di disequazioni (e non solo)

"Giotto44":per risolvere questa ho pensato di passare alla tangente dividendo per $ cos x $

questo non si può fare o, meglio, non puoi farlo a cuor leggero perché il coseno cambia segno al variare di $x$ e sai che nelle disequazioni il segno della quantità per la quale sono divisi ambo i membri importa al fine dell'eventuale cambiamento di verso della disequazione stessa.

Comunque, il procedimento non è del tutto errato (tra poco ci ritorno (*)) ma è pur sempre fuorviante perché hai una disequazione già in forma standard. Quindi puoi già risolverla direttamente e, se proprio ti dà fastidio vedere l'argomento così, puoi pur sempre porre $y=x-\pi/3$ e risolvere $sin(y)\ge 0$ per poi fare la sostituzione inversa.

Voglio comunque riprendere il discorso di prima (*). Il procedimento non è del tutto errato quello usato ma è tremendamente sconveniente in questo caso dove, come detto, la disequazione la puoi risolvere in modo semplice.
Innanzitutto non puoi dividere per $cos(x)$ ma al massimo puoi raccogliere il $cos(x)$
$cos(x)(1/2 \frac{sin(x)}{cos(x)} - \sqrt(3)/2) \ge 0$
ovvero $cos(x) (tan(x)-\sqrt(3)) \ge 0$
e, da qui, fare uno studio del segno.

Inoltre - non è finita! - dividendo per $cos(x)$ hai automaticamente escluso il caso $cos(x)=0$ che però non dà problemi nella disequazione iniziale e devi recuperarlo e aggiungere i risultati a quanto ottenuto.

Non so se mi sono spiegato, ma volevo cercare di essere completo e non farti notare solo l'intuitività della soluzione in questo caso - poi @@melia è decisamente più brava di me, da come ho visto in altre discussioni, in questo tipo di disequazioni (io vado in tilt con i $k\cdot "qualcosa"\cdot \pi$ per i periodi...).

[@melia]

La mia risposta è la stessa che ho dato a Galestix qui.

"@melia":Il tuo procedimento è inutile e dannoso. Per risolvere equazioni (e disequazioni) goniometriche bisogna portare tutto in un unico angolo e poi cercare di portare tutto anche in un’unica funzione goniometrica. Nell’esercizio hai già un’unica funzione e un unico angolo, non devi applicare alcunché.

Il seno è positivo per angoli compresi tra $-pi/2$ e $pi/2$, a cui va sommato il periodo, quindi $ sin (x-pi/3)>=0 $ diventa
$-pi/2+2kpi<=x-pi/3<=pi/2+2kpi$, aggiungi $pi/3$ a tutti i membri e ottieni

$-pi/2+pi/3+2kpi<=x-pi/3+pi/3<=pi/2+pi/3+2kpi$

$-pi/6+2kpi<=x<=5/6pi+2kpi$

[Zero87]

"@melia":La mia risposta è la stessa che ho dato a Galestix

L'ho letta, volevo solo dirgli, per completezza, dove comunque il suo procedimento era sbagliato. Può venirgli utile nel caso in cui si trova a che fare con disequazioni lineari in seno e coseno.
Tra l'altro, infatti, ho scritto

"Zero87":Comunque, il procedimento non è del tutto errato [...] ma è pur sempre fuorviante perché hai una disequazione già in forma standard. Quindi puoi già risolverla direttamente e, se proprio ti dà fastidio vedere l'argomento così, puoi pur sempre porre $ y=x-\pi/3 $ e risolvere $ sin(y)\ge 0 $ per poi fare la sostituzione inversa.

che è praticamente quanto hai detto tu in pratica (senza passare per la $y$).

[@melia]

Non volevo sconfessare il tuo intervento, nel quale hai fatto giustamente notare tutta la serie di errori che compromettevano il risultato.
Volevo solo far notare a Giotto44 che l'esercizio era immediato.

[Giotto44]

Grazie