Disequazione fratta irrazionale con modulo

[happykiller95]

Aiuto, non so come risolvere questa disequazione:

http://imageshack.us/photo/my-images/338/dism.jpg/

Per piacere aiutatemi, il mio professore non sa spiegare e martedì ci fa fare il compito. se potete, risolvendolo, spiegatemi perchè fate i vari passaggi. grazie

Aggiunto 12 ore 29 minuti più tardi:

Tutto chiarissimo, una sola cosa, perché la disequazione irrazionale si risolve cosí, cioé puoi spiegarmi il procedimento teorico

[BIT5]

Per prima cosa devi considerare quando il valore assoluto e' inutile (argomento > o = a 0) o quando opera (argomento < 0)

Il valore assoluto opera su argomenti negativi, cambiando di segno l'argomento.

quindi

[math] \frac{2x+1}{x} \ge 0 [/math]

studiamo questa disequazione:

[math] N \ge 0 \to x \ge - \frac12 \\ \\ \\ D>0 \to x>0 [/math]

e quindi

[math] x \le - \frac12 \cup x>0 [/math]

pertanto la disequazione dell'esercizio corrisponde all'unione delle soluzioni dei seguenti sistemi:

[math] \{ \frac{1-x+ \sqrt{x^2+x+2}}{3- \frac{2x+1}{x}} \ge 0 \\ x \le - \frac12 \cup x>0 [/math]

[math] \cup \{ \frac{1-x+ \sqrt{x^2+x+2}}{3- \(- \frac{2x+1}{x} \)} \\ - \frac12 < x < 0 [/math]

Notiamo che in entrambi i sistemi, abbiamo al numeratore una radice. Quindi studiamo il campo di esistenza comune a tutte due i sistemi

[math] x^2+x+2 \ge 0 [/math]

che, avendo delta negativo, e' sempre verificata

Iniziamo dal primo sistema:

[math] N \ge 0 \to 1-x + \sqrt{x^2+x+2} \ge 0 \to \sqrt{x^2+x+2} \ge x-1 [/math]

E' una disequazione irrazionale che si risolve con i due sistemi

[math] \{x-1(x-1)^2 [/math]

Il primo sistema:

[math] \{x- 1 [/math]

ovvero

[math] \{x \ge 1 \\ x>- \frac13 [/math]

quindi soluzione del secondo sistema

[math] x \ge 1 [/math]

pertanto la soluzione sara'

[math] x0 \to 3+ \frac{2x+1}{x} > 0 \to \frac{3x+2x+1}{x} > 0 \to \frac{5x+1}{x} > 0 [/math]

studiamo la frazione

[math] N>0 \to x>- \frac15 \\ \\ \\ \\ D>0 \to x>0 [/math]

soluzione sara' x0

La frazione complessiva, Numeratore sempre positivo, denominatore x0 , soluzione del sistema x0

pertanto alla fine i sistemi iniziali saranno

[math] \{x1 \\ x \le - \frac12 \cup x>0 [/math]

[math] \cup \{x0 \\ - \frac12 < x < 0 [/math]

ovvero

[math] x \le - \frac12 \cup x>1 \cup -\frac12 < x < - \frac15 [/math]

e l'unione delle soluzioni sara'

[math] x < - \frac15 \cup x>1 [/math]

spero che i conti siano corretti, il procedimento da seguire e' questo

Aggiunto 13 ore 7 minuti più tardi:

Quando hai

[math] \sqrt{p(x)} > q(x) [/math]

il ragionamento da fare e':

se q(x)= 0 )

se invece q(x)>0 allora elevo al quadrato ambo i membri. (non posso elevare al quadrato ambo i membri a priori, perche' rischierei che se q(x) e' negativo al quadrato diventa positivo e ho delle soluzioni non corrette)

questo si traduce in

[math] \{q(x)q^2(x) [/math]

quando hai invece

[math] \sqrt{p(x)} < q(x) [/math]

allora devi ragionare cosi'..

Siccome la radice di p(x) (quando esiste) restituisce un valore positivo, per essere minore di q(x) dovra' essere q(x)>0. infatti se q(x) e' negativo, la disequazione non sara' mai verificata (la radice dovrebbe dare un valore < di una quantita' negativa)

una volta posto che q(x) sia > 0 e che la radice esiste, allora elevi al quadrato

Quindi risolvi con:

[math] \{q(x) \ge 0 \\ p(x) \ge 0 \\ p(x)