Disequazione fratta con irrazionali
Non riesco a risolvere correttamente questa disequazione:
$x/(sqrt(x^2-1)) <= 2$
Io la svolgo in questo modo:
trattandosi di una disequazione razionale fratta, considero Numeratore e denominatore entrambi maggiori di 0
$N: x>= 2$
$D: sqrt(x^2-1) > 2 => x^(2)-1 > 4 => x < -sqrt5 vv x > sqrt5 $
Con il classico schemino per l'analisi del segno delle disequazioni fratte, considerando il segno negativo perché la richiesta è $<=$ risulta:
$x/(sqrt(x^2-1)) <= 2 => x<-sqrt5 vv 2 <= x < sqrt5$.
Purtroppo però verificando con wolfram i valori di x per cui questa disequazione risulta vera sono: $x<-1 vv x >2/sqrt3$.
Dov'è l'errore?
$x/(sqrt(x^2-1)) <= 2$
Io la svolgo in questo modo:
trattandosi di una disequazione razionale fratta, considero Numeratore e denominatore entrambi maggiori di 0
$N: x>= 2$
$D: sqrt(x^2-1) > 2 => x^(2)-1 > 4 => x < -sqrt5 vv x > sqrt5 $
Con il classico schemino per l'analisi del segno delle disequazioni fratte, considerando il segno negativo perché la richiesta è $<=$ risulta:
$x/(sqrt(x^2-1)) <= 2 => x<-sqrt5 vv 2 <= x < sqrt5$.
Purtroppo però verificando con wolfram i valori di x per cui questa disequazione risulta vera sono: $x<-1 vv x >2/sqrt3$.
Dov'è l'errore?
Risposte
L'errore è che devi prima fare denominatore comune con il due.
quella funzione tra $-1$ e $1$ non esiste, per valori di $x$ inferiori a $-1$ la funzione è sempre negativa quindi la disuguaglianza è sempre verificata.
Per i valori maggiori di $1$ procedo in questo modo:
$x/sqrt(x^2-1)<=2$ elevo tutto alla seconda
$=x^2/(x^2-1)<=4$ moltiplico entrambi i membri per $x^2-1$
$=x^2<=4x^2-4=$
$=x^2-4x^2<=4=$
$=-3x^2<=4$ con il meno davanti cambio verso alla disequazione e ottengo
$x^2>=4/3$
$x>=sqrt(4/3)>=2/sqrt(3)$
ricapitolando, $x<-1$ e $x>2/sqrt(3)$
Per i valori maggiori di $1$ procedo in questo modo:
$x/sqrt(x^2-1)<=2$ elevo tutto alla seconda
$=x^2/(x^2-1)<=4$ moltiplico entrambi i membri per $x^2-1$
$=x^2<=4x^2-4=$
$=x^2-4x^2<=4=$
$=-3x^2<=4$ con il meno davanti cambio verso alla disequazione e ottengo
$x^2>=4/3$
$x>=sqrt(4/3)>=2/sqrt(3)$
ricapitolando, $x<-1$ e $x>2/sqrt(3)$
Premesso che ovviamente avete ragione, purtroppo non mi avvicinavo alle disequazioni da un bel po' di tempo e ho commesso questo grossolano. Procedendo secondo il consiglio di (ovviamente) trovare il minimo comune denominatore, ho incontrato un altro problema:
$x/(sqrt(x^2-1))<= 2 => (x-2(sqrt(x^2-1)))/ sqrt(x^(2)-1) <= 0$
A questo punto è giusto considerare l'equazione come una fratta e svolgerla regolarmente? O sbaglio ancora qualcosa?
Procedo così:
Numeratore:
$x-2(sqrt(x^2-1))>= 0 => -2(sqrtx^2-1)>= -x => 2(sqrtx^2-1)<= x => \{(x>0), (x^2-1>=0), (4x^2-4<=x^2):}$
la seconda disequazione, semplicemente:
$x^2 - 1 >= 0 => x<=-1 vv x>=1$
la terza disequazione:
$4x^2-x^2<= 4 => x^2<= sqrt(4/3) => -2/sqrt3<=x <=2/sqrt3$
Considerando il sistema quindi risulta, per il numeratore: $1<=x<=2/sqrt3$
Per il denominatore il calcolo è lo stesso già effettuato in precedenza:
$sqrt(x^2 - 1) > 0 =>x^2 - 1 > 0 => x<-1 vv x>1$
A questo punto, realizzando il grafico dei segni della disequazione fratta iniziale, risulta:
$x<-1 vv x>=2/sqrt3$
Purtroppo però i valori per cui la x risolvono la disequazione sono solo per $x>=2/sqrt3$.
Cosa ho sbagliato questa volta?
Grazie come sempre
$x/(sqrt(x^2-1))<= 2 => (x-2(sqrt(x^2-1)))/ sqrt(x^(2)-1) <= 0$
A questo punto è giusto considerare l'equazione come una fratta e svolgerla regolarmente? O sbaglio ancora qualcosa?
Procedo così:
Numeratore:
$x-2(sqrt(x^2-1))>= 0 => -2(sqrtx^2-1)>= -x => 2(sqrtx^2-1)<= x => \{(x>0), (x^2-1>=0), (4x^2-4<=x^2):}$
la seconda disequazione, semplicemente:
$x^2 - 1 >= 0 => x<=-1 vv x>=1$
la terza disequazione:
$4x^2-x^2<= 4 => x^2<= sqrt(4/3) => -2/sqrt3<=x <=2/sqrt3$
Considerando il sistema quindi risulta, per il numeratore: $1<=x<=2/sqrt3$
Per il denominatore il calcolo è lo stesso già effettuato in precedenza:
$sqrt(x^2 - 1) > 0 =>x^2 - 1 > 0 => x<-1 vv x>1$
A questo punto, realizzando il grafico dei segni della disequazione fratta iniziale, risulta:
$x<-1 vv x>=2/sqrt3$
Purtroppo però i valori per cui la x risolvono la disequazione sono solo per $x>=2/sqrt3$.
Cosa ho sbagliato questa volta?
Grazie come sempre
"SiSaD":
Purtroppo però i valori per cui la x risolvono la disequazione sono solo per $x>=2/sqrt3$.
Cosa ho sbagliato questa volta?
Grazie come sempre
Sembra tutto corretto. L'uguaglianza è verificata solo per $x=2/sqrt3$ mentre la disuguaglianza è verificata sia per $x>2/sqrt3$ che per $x<-1$.
Se inserisci al posto della $x$ valori minori di $-1$ avrai sempre un risultato negativo che è sicuramente $<2$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo