Disequazione esponenziale semplice

[lordb]

Ciao a tutti, non riesco a risovere questa disequazione poichè è la prima volta che ne incontro una del genere..
$ 3< root (x) (9^(1+x)) <= 81

$ 3<3^((2+2x)/x)<= 3^4

$ (2+2x)/x >1 $ e $ (2+2x)/x <=4

$ 2+2x>x $ e $2+2x<=4x

$ x> -2 $ e $-2x<=-2

Quindi i risultati possibili dovrebbero essere

$ x> -2$ e $ x>=1$

L'unico risultato ammesso dal libro è però $x>= 1..

Un aiutino ?

[@melia]

Nelle disequazioni fratte non puoi eliminare i denominatori!

[adaBTTLS1]

quello che ti ha detto @melia deve farti correggere l'errore.
però, ammesso che poni $x>0$ come indice di radice, le due soluzioni trovate (anche ricorrette) andrebbero comunque messe a sistema, e $x>=1$ è la soluzione sia dell'esercizio ricorretto, sia del tuo sistema che non hai considerato ...

[lordb]

Ah vero, forse allora devo fare così:

$ { (2+2x>1) , (x>0) :}$ e $ { (2+2x<=4) , (x>0) :}

$ { (x> -1/2) , (x>0) :}$ e $ { (x<=1) , (x>0) :}

Faccio il grafico del primo sistema di disequazioni :

$ { (x> -1/2) , (x>0) :}$



Quindi il primo sistema è verificato per $x<-1/2 V x>0$

Faccio il grafico del secondo sistema di disequazioni :

$ { (x<=1) , (x>0) :}



Perciò il secondo sistema è verificato solo per $x>=1$

Ora non so però come andare avanti...

[adaBTTLS1]

vedi che nel testo c'è una doppia disequazione che equivale ad un sistema: l'espressione con radice ed esponenziali è compresa tra $3$ e $81$, dunque le due vanno a sistema.
quindi ci sono due possibilità:
o imponi $x>0$ e unisci quello che hai fatto qui in un unico sistema che comprende tre disequazioni;
o, come ti faceva notare @melia, la $x$ al denominatore non puoi farla sparire (sia perché non ha senso nel caso in cui fosse $0$, sia perché se fosse negativa ti invertirebbe la disuguaglianza). se non dovesse essere necessariamente $x>0$ questa sarebbe una strada più lunga (immagina se fosse stato scritto direttamente nel testo come il tuo primo passaggio, cioè al posto di radice di indice $x$ il suo quasi equivalente "elevato a $1/x$" ...

[lordb]

Quindi quello che ho fatto nell'ultimo post non serve a nulla ?

[adaBTTLS1]

io pensavo che avessi ricopiato ... torniamo un attimo indietro:

$ 3< root (x) (9^(1+x)) <= 81

$ 3<3^((2+2x)/x)<= 3^4

$ (2+2x)/x >1 $ e $ (2+2x)/x <=4 $ bene, da mettere a sistema

$ 2+2x>x $ e $2+2x<=4x$
ok, se aggiungi la condizione ulteriore (se richiesta per la presenza della radice) $x>0$, altrimenti varrebbe osservazione di @melia
dunque metti a sistema i due risultati con $x>0$
${[ x> -2],[-2x<=-2],[x>0] :}$

Quindi i risultati possibili dovrebbero essere

$ x> -2$ e $ x>=1$

L'unico risultato ammesso dal libro è però $x>= 1..

a sistema, il risultato è quello del libro.
ci sei?

visto però che ti abbiamo un po' "confuso" con le varie alternative, proviamo a pensare che l'unica cosa da risolvere sia questa:
$ 3<3^((2+2x)/x)<= 3^4
allora mettiamo a sistema le due disequazioni che avevi scritto senza la condizione ulteriore $x>0$:

${[ (2+2x)/x >1 ],[ (2+2x)/x <=4 ] :} $
allora, in tal caso, dovresti portare tutto al primo membro in entrambe le disequazioni e risolvere due disequazioni frazionarie attraverso i segni di numeratore e denominatore. saresti in grado di procedere in questo modo?

[lordb]

Io sapevo che bisognasse porre sia il numeratore e il denominatore $>0$ , fare il grafico e poi vedere il verso originario della disequazione per decidere i valori corretti di "$x$" in base ai segni $+$ o $-$ del grafico. Esite un altro metodo?

[adaBTTLS1]

te li ho detti tutti e due: se c'è la radice, e non è usata al suo posto la forma esponenziale, si può supporre l'indice di radice positivo, e dunque $x>0$ come terza disequazione del sistema ti permette di semplificare.
nel mio ultimo messaggio non ho fatto altro che riprendere i tuoi calcoli e metterli insieme, con la terza disequazione.
solo alla fine ti ho prospettato quest'altra eventualità.

[lordb]

Ma nel sistema a 3 quale segno devo prendere dal grafico : il "+" o il "-" ? perchè se fosse il "+" allora dovrebbe anche essere considerato come risultato $ -2

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[adaBTTLS1]

$(x> -2)^^(x>=1)^^(x>0)$ sono tutte "di un verso", quindi $x$ "a destra del valore maggiore" ($x>=1$). o no?