Disequazione esponenziale problema

[Skyline-1]

Ciao a tutti,

Sto studiando una funzione ed arrivato allo studio della derivata seconda mi trovo :

4e^2x - 2e^x > 0

So che il risultato è x>ln(2) ma non riesco a farlo uscire.

Ho provato il metodo della sostituzione, sostituendo e^x con t, e mi viene:

4t^2 - 2t > 0 ----------> 2t(2t-1)>0 ------------> t>1/2 e t>0

Poi ho provato un altro metodo convertendo il tutto in ln e mi esce:

2xln(4)>xln(2) ---------------> provo a raccogliere la x ------> x[2ln(4)-ln(2)]>0

Sto sbagliando i calcoli o il metodo?

[mgrau]

"Skyline-":

Ho provato il metodo della sostituzione, sostituendo e^x con t, e mi viene:

4t^2 - 2t > 0 ----------> 2t(2t-1)>0 ------------> t>1/2 e t>0

In realtà sarebbe
$t>1/2$ oppure $t<0$, da cui $e^x > 1/2$
Sicuro che la soluzione non sia $x > - ln2$ ?

[giammaria2]

mgrau ti ha dato la correzione per il primo metodo; io te la do per il secondo.

Da $" "4e^(2x)>2e^x$, prendendo il logaritmo naturale ottieni $" "ln4+2x>ln2+x$

Ricorda poi che $ln4=ln2^2=2ln2$; oppure potevi semplificare per 2 la prima disequazione. Potevi anche semplificare per $2e^x$, che è sempre positivo.

La soluzione è quella indicata da mgrau.

[Skyline-1]

Grazie mille per le risposte, è vero ho sbagliato a scrivere la soluzione è -ln(2) scusate.


Però non capisco come fa 1/2 a diventare -ln(2) ? Come inverto un numero a logaritmo e viceversa?

[mgrau]

"Skyline-":

Però non capisco come fa 1/2 a diventare -ln(2) ?

Se $e^x = 1/2$ allora $x = ln(1/2) = ln(1) - ln(2) = 0 - ln(2)$