Disequazione esponenziale con radice

[Dragonlord]

Ragazzi, ho la seguente disequazione esponenziale:

\(\displaystyle 3^x - 9 < \sqrt{9^x - 9} \).

La soluzione è \(\displaystyle x \ge 1 \).

Non capisco se c'è qualcosa di particolare, perchè risolvendola come disequazione irrazionale, facendo i due sistemi, trovo sempre la soluzione \(\displaystyle x \ge 2 \).

Alla fine, la soluzione è la condizione di esistenza del radicale. Ma perchè basta questo, supposto che si risolva così?

[axpgn]

Come la risolvi tu? Mostralo

[Dragonlord]

Direi di porre \(\displaystyle 3^x = y \)

Quindi la disequazione diventa: \(\displaystyle y - 9 < \sqrt{y^2 - 9} \), che riscrivo come: \(\displaystyle \sqrt{y^2 - 9} > y - 9 \).

Quindi la studio con i due sistemi:

\begin{cases}
y - 9 < 0 \\
y^2 - 9 \ge 0 \\
\end{cases}

\begin{cases}
y - 9 \ge 0 \\
y^2 - 9 > (y - 9)^2 \\
\end{cases}

Risolvendoli troviamo: \(\displaystyle y \le -3 \vee 3 \le x < 9 \) per il primo e \(\displaystyle y \ge 9 \) per il secondo.

Andando a fare l'unione, trovo: \(\displaystyle y \le -3 \vee y \ge 3 \).

Tornando indietro: \(\displaystyle 3^x \le -3 \vee 3^x \ge 3 \). La prima è impossibile, la seconda mi dà: \(\displaystyle x \ge 1 \).

Così, però, ora si trova. Ma è fatto bene?

[axpgn]

Sì, è corretto ... però io ti avevo chiesto di mostrare i conti del primo post