Disequazione Esponenziale

[etec83]

Stavo provando a svolgere questa disequazione esponenziale

$2*3^(x) - 4^(x) - 1≥ 2^(2x)$

$2*3^(x) - 2^(2x) - 1≥ 2^(2x)$

$2*3^(x) - 2^(2x) - 2^(2x) ≥ 1$

$2*3^(x) - 2(2^(2x)) ≥ 1$

$2 *(3^(x) - 2^(2x+1)) ≥ 1$

$3^(x) - 2^(2x+1) ≥ 1/2$

Ora però non ricordo come andare avanti per isolare la variabile.
Bisogna utilizzare sicuramente il logaritmo, ma sono un po' arruginito.

[Seneca1]

"etec83":Stavo provando a svolgere questa disequazione esponenziale

$2*3^(x) - 4^(x) - 1≥ 2^(2x)$

$2*3^(x) - 2^(2x) - 1≥ 2^(2x)$

$2*3^(x) - 2^(2x) - 2^(2x) ≥ 1$

$2*3^(x) - 2(2^(2x)) ≥ 1$

$2 *(3^(x) - 2^(2x+1)) ≥ 1$

$3^(x) - 2^(2x+1) ≥ 1/2$

Ora però non ricordo come andare avanti per isolare la variabile.
Bisogna utilizzare sicuramente il logaritmo, ma sono un po' arruginito.

$2 *(3^(x) - 2^(2x+1)) ≥ 1$ Qua c'è un errore.

Se raccogli $2$ come hai fatto, trovi:

$2 *(3^(x) - 2^(2x)) ≥ 1$

[etec83]

Ah già quindi ho:

$2 *(3^(x) - 2^(2x)) ≥ 1$

$3^(x) - 2^(2x) ≥ 1/2$

$3^(x)≥ 2^(-1) + 2^(2x)$

Però siamo sempre lì.
E adesso.

[blackbishop13]

$3^(x)>= 2^(-1) + 2^(2x)$

devi osservare che $2^(2x)=4^x$
e a questo punto si ha

$3^x>= 4^x+1/2$

per $x>=0$ è chiaro che la disuguaglianza è impossibile, perchè $4^x>3^x$

per$x<0$ la discussione è più sofisticata:

per $-1/2<=x<0$ è falsa perchè $4^x+1/2>=1$ e $3^x<1$.

per $x<=-log_3(2)$ è falsa perchè si ha $3^x<=1/2$ e di sicuro $4^x+1/2>1/2$

rimane il caso $-log_3(2)
magari si può fare in maniera più veloce, senza dividere per casi.