Disequazione esponenziale

[paperino001]

Salve, come posso risolvere questa disequazione ?

$(1/2)^x > 2x +1$

grazie

[minomic]

Ciao, in teoria questo genere di disequazioni si risolvono per via grafica: si disegnano le due curve e si vede quando una curva sta "sopra" all'altra. In questo caso però possiamo accorgerci con un po' di occhio che il valore di $x$ che rende uguali i due membri della disequazione è $x=0$. Quindi...

[paperino001]

esatto il libro chiede di risolverla graficamente ma io vorrei sapere anche come si può fare algebricamente

[minomic]

"paperino00":esatto il libro chiede di risolverla graficamente ma io vorrei sapere anche come si può fare algebricamente

Non si può proprio! Solitamente le soluzioni vengono approssimate mentre in questo caso viene precisa, dopo aver notato quella cosa dell'$x=0$. Prova a tracciare i grafici delle curve, cioè di $y=(1/2)^x$ e $y=2x+1$...

[paperino001]

l'esponenziale è maggiore della retta per $x<0$ ma è possibile che non si può fare proprio niente algebricamente ?

[minomic]

"paperino00":l'esponenziale è maggiore della retta per $x<0$

Esatto, questo è il risultato della disequazione.

"paperino00":ma è possibile che non si può fare proprio niente algebricamente ?

Che io sappia no...

[paperino001]

posso risolvere questa disequazione senza usare ruffini ?

$6^x + 3^x - 2^x -1 >= 0$

[minomic]

"paperino00":posso risolvere questa disequazione senza usare ruffini ?

$6^x + 3^x - 2^x -1 >= 0$

\[2^x \cdot 3^x + 3^x - 2^x - 1 = 3^x(2^x + 1) - (2^x + 1) = (3^x - 1)(2^x + 1) \ge 0 \]Ora consideri che $(2^x + 1)$ è sempre positivo e puoi concludere studiando il segno dell'altro fattore.

[paperino001]

e questa che è di 3 grado ?

$27^x - 2 * 9^x - 5*3^x +6 <=0$

[minomic]

"paperino00":e questa che è di 3 grado ?

$27^x - 2 * 9^x - 5*3^x +6 <=0$

Poni $3^x = t$ e ottieni
\[
t^3 - 2t^2 - 5t + 6 \le 0
\]poi utilizzi Ruffini.

[paperino001]

si annulla per x=1 ma scomponendo mi viene $(x-1)(3^(2x) -3^x -6)$ che è sbagliato

[minomic]

"paperino00":si annulla per x=1 ma scomponendo mi viene $(x-1)(3^(2x) -3^x -6)$ che è sbagliato

Attenzione, stai confondendo le $x$ con le $t$.
Viene $(t-1)(t^2-t-6) < 0$, cioè $(t-1)(t-3)(t+2) < 0$. Ora la risolvi rispetto a $t$ e poi torni alle $x$ ricordando che avevamo posto $3^x = t$.

[paperino001]

avevo scritto x-1 invece di $3^x -1$
Il trinomio va ulteriormente scomposto con Ruffini? mi sembra che c'era un metodo per farlo senza

[minomic]

"paperino00":Il trinomio va ulteriormente scomposto con Ruffini? mi sembra che c'era un metodo per farlo senza

Sì puoi usare "somma-e-prodotto". Devi cercare due numeri la cui somma sia $-1$ e il cui prodotto sia $-6$. Quando ti sei accorto che questi due numeri sono $-3$ e $2$ puoi dire
\[
t^2 - t - 6 = (t-3)(t+2)
\]