Disequazione esponenziale

[Cmpunk]

Scusate ma nell'altra discussione è successo un casino,tento di riscrivere l'esercizio:
3^x^2-1 - 3^2x^2-1 x 3^2-x^2 + 216>0
Nn so se ho scritto bene....le operazioni lunghe sono tra gli esponenti...spero si capisca...il risultato dovrebbe essere -2

[BIT5]

E' questa la disequazione?

[math]3^{(x^2-1)}-3^{(2x^2-1)}3^{(2-x^2)}+216>0[/math]

[Cmpunk]

Nessuna anima pia?:daidai

[adry105]

Ma la disequazione è quella scritta da BIT5? =)

[Cmpunk]

No,diciamo che le "basi"sono solo i tre 3 e il 216,il resto sono operazioni tra esponenti(la x al centro tra -1 e 3 è un per)

[BIT5]

Ma il fatto che nella mia disequazione sopra tra

[math]-3^{(2x^2-1)}[/math]

e

[math]3^{(2-x^2)}[/math]

non ci sia niente, sottointende un "per".

Il risultato, tra l'altro, coincide con il tuo.
Io ti risolvo quella scritta da me, al massimo ti serve come esempio...

Cominciamo con il prodotto

[math]-3^{(2x^2-1)}3^{(2-x^2)}[/math]

ricordando una delle proprietà delle potenze

[math]a^na^m=a^{n+m}[/math]

Avremo

[math]-3^{(2x^2-1+2-x^2)}=-3^{x^2+1}[/math]

Sempre per la proprietà di cui sopra, sappiamo che

[math]3^{x^2+1}=3^{x^2}3^{1}=3 \cdot 3^{x^2}[/math]

Analogamente sapendo che

[math]\frac{a^n}{a^m}= a^{n-m}[/math]

Calcoliamo

[math]3^{x^2-1}= \frac{3^{x^2}}{3}[/math]

Infine, scomponendo in fattori primi il numero 216 otteniamo che

[math]216=2^3 \cdot 3^3[/math]

Pertanto la disequazione diventerà

[math]\frac{3^{x^2}}{3}-3 \cdot 3^{x^2}+2^3 \cdot 3^3 >0[/math]

Minimo comune multiplo

[math]\frac{3^{x^2}-9 \cdot 3^{x^2} + 2^3 \cdot 3^4}{3}>0[/math]

[math]3^{x^2}-9 \cdot 3^{x^2} + 2^3 \cdot 3^4>0[/math]

[math]-8 \cdot 3^{x^2}>-2^3 \cdot 3^4[/math]

Cambiamo i segni (e cambiamo il verso della disequazione!)

[math]8 \cdot 3^{x^2}< 2^3 \cdot 3^4[/math]

Poniamo

[math]3^{x^2}< \frac{2^3 \cdot 3^4}{8}[/math]

Ovvero

[math]3^{x^2}< 3^4[/math]

Dal momento che 3 è una base > 1, (se fosse compresa tra 0 e 1 dovremmo cambiare il verso della disequazione) affinchè sia verificata la disequazione tra le potenze, deve essere verificata la disequazione tra gli esponenti...

[math]x^2

[Cmpunk]

[quote]BIT5:
Ma il fatto che nella mia disequazione sopra tra

[math]-3^{(2x^2-1)}[/math]

e

[math]3^{(2-x^2)}[/math]

non ci sia niente, sottointende un "per".

Il risultato, tra l'altro, coincide con il tuo.
Io ti risolvo quella scritta da me, al massimo ti serve come esempio...

Cominciamo con il prodotto

[math]-3^{(2x^2-1)}3^{(2-x^2)}[/math]

ricordando una delle proprietà delle potenze

[math]a^na^m=a^{n+m}[/math]

Avremo

[math]-3^{(2x^2-1+2-x^2)}=-3^{x^2+1}[/math]

Sempre per la proprietà di cui sopra, sappiamo che

[math]3^{x^2+1}=3^{x^2}3^{1}=3 \cdot 3^{x^2}[/math]

Analogamente sapendo che

[math]\frac{a^n}{a^m}= a^{n-m}[/math]

Calcoliamo

[math]3^{x^2-1}= \frac{3^{x^2}}{3}[/math]

Infine, scomponendo in fattori primi il numero 216 otteniamo che

[math]216=2^3 \cdot 3^3[/math]

Pertanto la disequazione diventerà

[math]\frac{3^{x^2}}{3}-3 \cdot 3^{x^2}+2^3 \cdot 3^3 >0[/math]

Minimo comune multiplo

[math]\frac{3^{x^2}-9 \cdot 3^{x^2} + 2^3 \cdot 3^4}{3}>0[/math]

[math]3^{x^2}-9 \cdot 3^{x^2} + 2^3 \cdot 3^4>0[/math]

[math]-8 \cdot 3^{x^2}>-2^3 \cdot 3^4[/math]

Cambiamo i segni (e cambiamo il verso della disequazione!)

[math]8 \cdot 3^{x^2}< 2^3 \cdot 3^4[/math]

Poniamo

[math]3^{x^2}< \frac{2^3 \cdot 3^4}{8}[/math]

Ovvero

[math]3^{x^2}< 3^4[/math]

Dal momento che 3 è una base > 1, (se fosse compresa tra 0 e 1 dovremmo cambiare il verso della disequazione) affinchè sia verificata la disequazione tra le potenze, deve essere verificata la disequazione tra gli esponenti...

[math]x^2