Disequazione di secondo grado

[chiaramc1]

salve, non capiscole disequazionid i secondo grado $x^2+x-6$
come procedo?

[donald_zeka]

Prima risolvi l'equazione $x^2+x-6=0$ e, una volta trovate le $2$ soluzioni $x1$ e $x2$ ,a seconda che la tua disequazione sia $x^2+x-6>0$ o $x^2+x-6<0$ assumi i valori esterni a $x1$ e $x2$ o interni.

$x^2+x-6=0$
$x^2+x+1/4 -6-1/4=0$
$(x+1/2)^2=6+1/4$
$(x+1/2)^2=25/4$
$x+1/2=+-5/2$

$x1=-1/2+5/2=2$
$x2=-1/2-5/2=-3$

Se la tua disequazione è $x^2+x-6>0$ allora le soluzioni sono $x>2$ $vel$ $x<-3$

Se la tua disequazione è $x^2+x-6<0$ le soluzioni sono $-3

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[minomic]

CIao chiara,
il metodo che ti ha suggerito Vulplasir per trovare le soluzioni di $x^2+x-6=0$ è molto bello (si chiama completamento dei quadrati). Se ti piace e non ti crea problemi puoi usare quello. Altrimenti puoi sempre applicare la formula che abbiamo visto per trovare le soluzioni di un'equazione di secondo grado, ovvero \[x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] O ancora puoi scomporre il trinomio con il metodo "somma-e-prodotto": \[x^2+x-6 = \left(x+3\right)\left(x-2\right)\] Poi forse ti chiederai il perché del fatto che si debbano prendere i valori interni o quelli esterni. La risposta è nella parabola (infatti questo viene da molti definito metodo della parabola) $y = x^2+x-6$. Prova a disegnarla e vedrai che le intersezioni con l'asse $x$ sono esattamente per $x=-3$ e $x = 2$. All'esterno di questi due valori la parabola si trova al di sopra dell'asse $x$, quindi $y>0$ e di conseguenza $x^2+x-6 > 0$. Invece all'interno si trova sotto l'asse $x$, quindi $y<0$ e di conseguenza $x^2+x-6 < 0$.

[chiaramc1]

allora $x^2-6x+8$ l'ho risolta mi viene $(2,3)$ ora nn ho capito bene come valutare i segni,

[axpgn]

Hai risolto male però, perché le soluzioni di quell'equazione sono $x_1=2$ e $x_2=4$

[minomic]

Attenzione: per prima cosa non puoi scrivere le soluzioni in quel modo perché sembrano le coordinate di un punto. Oltretutto una delle soluzioni è $4$ e non $3$.

Ora se tu prendi la parabola $y= x^2-6x+8$ cosa vedi? Te la posto qui sotto per comodità.



Puoi subito notare come la parte positiva della parabola (quella sopra all'asse $x$) sia all'esterno dei due valori che abbiamo individuato, mentre la parte negativa della parabola sta all'interno.

[chiaramc1]

per risolverla devo rappresentare graficamente la parabola? Giusto?
per risolverla devo rappresentare graficamente la parabola? Giusto?

[minomic]

Queste prime volte vediamo anche la parabola per capire il perché di certe regole. Poi non serve più rappresentare graficamente la curva.

[chiaramc1]

per disegnare la parabola, hai trovato il vertice la direttrice etc?

[minomic]

Io ora ho utilizzato un software, però sì: si farebbe come al solito.

[giammaria2]

"chiaramc":per disegnare la parabola, hai trovato il vertice la direttrice etc?

Se il tuo unico scopo è risolvere una disequazione di secondo grado, questo non serve: ti basta guardare se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso (e per questo basta guardare il segno davanti ad $x^2$) e se ci sono o no intersezioni con l'asse $x$ (e per questo hai risolto l'equazione). Disegni poi uno schizzo qualsiasi che rispetti questi dati e dia l'idea di una parabola.
Se invece lo scopo è disegnare bene una parabola devi trovarne il vertice e qualche altro punto; fuoco e direttrice servono solo quando ne vuoi uno studio ancora più completo.

[chiaramc1]

no per ora mi interessa soltanto fare la disequaizone,

[chiaramc1]

ho disegnato ora come valuto il segno=

[minomic]

Te l'ho detto: devi guardare se la parabola sta sopra o sotto l'asse delle ascisse e in quale zona. Poi se ci sono intersezioni con l'asse $x$ le possibilità sono solo due: maggiore all'esterno e minore all'interno o viceversa.

[chiaramc1]

allora in pratica devo guardare se va verso l'alto o il basso?

[minomic]

Esatto: se la parabola ha la concavità verso l'alto allora i maggiori sono all'esterno e i minori sono all'interno. Se invece la concavità è verso il basso succede l'opposto.

[chiaramc1]

potresti farmi un esempio se nn disturba?

[minomic]

In realtà l'esempio lo hai fatto tu prima.
Prendiamo \[x^2-6x+8 > 0\] Le soluzioni dell'equazione \[x^2-6x+8=0\] sono \[x_1 = 2 \qquad \qquad x_2 = 4 \] La concavità della parabola è verso l'alto e io cerco i valori $>0$: prendo i valori esterni. Quindi la soluzione della disequazione è \[x < 2 \quad\vee\quad x > 4\]
Se invece fosse stato \[x^2-6x+8 < 0\] la soluzione sarebbe stata \[2

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[chiaramc1]

quindi bisogna impararla a memoria la regola'

[minomic]

Puoi impararla a memoria o puoi immaginare una parabola, come diceva prima giammaria.

[chiaramc1]

capito faccio qualche esercizio e ci provo.