Disequazione di quinto grado
Ciao a tutti.
Devo risolvere la disequazione $x^5+1>0$.
Per provare che la soluzione sia $x> -1$ mi sono servito dello studio di funzione, che è molto semplice (la derivata è sempre non negativa, dunque la funzione è crescente). Tuttavia mi resta il dubbio di come fare a risolvere l'esercizio in modo puramente algebrico.
Grazie,
L.
Devo risolvere la disequazione $x^5+1>0$.
Per provare che la soluzione sia $x> -1$ mi sono servito dello studio di funzione, che è molto semplice (la derivata è sempre non negativa, dunque la funzione è crescente). Tuttavia mi resta il dubbio di come fare a risolvere l'esercizio in modo puramente algebrico.
Grazie,
L.
Risposte
Si tratta di una disequazione binomia del tipo $x^n>k$,
se n è dispari si risolve come un'equazione di primo grado, perché l'equazione associata ammette sempre 1 soluzione reale, la soluzione della disequazione è $x>root(n)(k)$
se n è pari si risolve come una disequazione di secondo grado, perché l'equazione associata ammette 2 soluzioni reali o nessuna a seconda del segno di k, per $k>0$ la soluzione è $x< -sqrt k vv x> sqrt k$, per $k<0$ la disuguaglianza è sempre verificata
se n è dispari si risolve come un'equazione di primo grado, perché l'equazione associata ammette sempre 1 soluzione reale, la soluzione della disequazione è $x>root(n)(k)$
se n è pari si risolve come una disequazione di secondo grado, perché l'equazione associata ammette 2 soluzioni reali o nessuna a seconda del segno di k, per $k>0$ la soluzione è $x< -sqrt k vv x> sqrt k$, per $k<0$ la disuguaglianza è sempre verificata
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