Disequazione di 5 grado

[Iennakpulos]

Ciao,

Avrei bisogno di qualche dritta su come scomporre questa disequazione:

\( X^5+x+2>0 \)

Con P(-1) è scomponibile tramite Ruffini, con il risultato di:

\( (x+1) (x^4-x^3+x^2-x+2)>0 \)

Da qui quel che mi verrebbe in mente sarebbe utilizzare nuovamente Ruffini, cosa che però non si può fare..

Avreste qualche soluzione da darmi?

Grazie,

[Lo_zio_Tom]

si vede senza far alcun conto che la disequazione è soddisfatta per $x> -1$

se invece vuoi fare qualche conto allora:

basta notare che la funzione $x^5+x+2$ è monotona crescente e si azzera in $x=-1$

per vedere che la funzione è monotona ne fai la derivata prima

$f'(x)=5x^4+1>0 AAx$

[Iennakpulos]

Ok, però avrei bisogno di un metodo di verifica..nel senso che utilizzando Ruffini e ponendo X = -1 ho come risultato quello scritto nel mio primo post, quindi per valori maggiori di -1 la disequazione è soddisfatta. Ma è un metodo intuitivo non un vero e proprio procedimento..

Per quanto riguarda funzioni e derivate, non posso risolvere un esercizio con cose che non ho ancora studiato..

Grazie.

[igiul1]

Potresti ragionare in questo modo:

$x^4-x^3+x^2-x+2>0=>x^4+x^2+2>x^3+x$ è sempre vera perché:

1) se $x<0$ il primo membro è positivo ed il secondo negativo,
2) $x=0 =>2>0$,
3) se $0 4) se $x>1$ le potenze di $x$ al primo membro sono maggiori di quelle al secondo membro, aumentate poi di $2$ il primo membro è indubbiamente maggiore del secondo.

[orsoulx]

A livello di biennio forse è meglio notare che
$ x^5+x+2=(x^5+1)+(x+1) $ con i due binomi banalmente negativi per $ x<-1 $, positivi per $ x> -1 $ e nulli per $ x=-1 $.

Ciao

[Iennakpulos]

Ho capito che non posso approcciare a questo esercizio in maniera " tradizionale " ma devo ragionare un attimo fuori dalle righe.

Mi capiterà in futuro di trovarmi in situazioni del genere quindi vi ringrazio per le ottime spiegazioni.

Ciao, alla prossima cosa che non sarò in grado di fare..alias a presto!!

[Lo_zio_Tom]

"orsoulx":A livello di biennio forse è meglio notare che
$ x^5+x+2=(x^5+1)+(x+1) $ con i due binomi banalmente negativi per $ x<-1 $, positivi per $ x> -1 $ e nulli per $ x=-1 $.

Ciao

tu sei troppo avanti

[orsoulx]

"tommik":tu sei troppo avanti

[ot]m'pias minga! Così sarei il primo a cui sparano i nemici. [/ot]
Ciao

[claus931]

"orsoulx":A livello di biennio forse è meglio notare che
$ x^5+x+2=(x^5+1)+(x+1) $ con i due binomi banalmente negativi per $ x<-1 $, positivi per $ x> -1 $ e nulli per $ x=-1 $.

Ciao

perdonami ma io la trovo più una prova che un dimostrazione...più utile dimostrare, come fatto sopra, che si tratti di una funziona monotona che, partendoa da $-infty$ e andando a $+infty$, toccherà l'asse delle x in un punto solo e quindi sarà maggiore di 0 da questa ascissa in poi...

in modo più intuitivo la trasforma in $x^5> -x-2$ e rappresentando nel piano $\{(f(x)= x^5),(g(x) = -x-2):}$ la soluzione sarà data dalle ascisse per cui $f(x)>g(x)$.

[orsoulx]

"claus93":perdonami

Lo farei molto volentieri, se capissi qual è la colpa (tua) da cancellare.
Hai fatto benissimo ad intervenire: ho passato buona parte della mia vita a tentare di convincere i miei pargoli di quanto fosse meglio 'sprecare' tempo nel ragionare su un esercizio, dopo esser giunti al risultato (giusto o sbagliato non importa), piuttosto che affrontarne un secondo del medesimo tipo.

Non capisco neppure quale sia la colpa mia: provare e dimostrare per me sono sinonimi, almeno nella matematica.

Quello di cui stiamo discutendo è, secondo me, un ottimo esercizio, che dovrebbe far comprendere quanto nei procedimenti tanti 'devi fare così' siano da sostituire con dei 'si potrebbe fare così'.
Utilizzare il teorema e la regola di Ruffini per scomporre un polinomio non sempre semplifica la situazione; in questo caso la complica.

Per sintetizzare si tratta di individuare la soluzione dell'equazione corrispondente e di 'provare' che è unica e separa i valori in cui il polinomio è positivo da quelli in cui è negativo.
Ottimi i due approcci che suggerisci, valido pure il mio (credo).
Ciao

[@melia]

A me questo esercizio piace molto ed è uno di quelli che ho voglia di fare più di una volta in classe. Voglio proporlo ai miei studenti di seconda e a quelli di quinta, purtroppo quest'anno non ho terze, magari lo conservo per l'anno prossimo.