Disequazione con logaritmo e valore assoluto

[Pemberton!]

Buonasera,

Mi sono bloccato nella risoluzione di questa disequazione

$|ln(1-x)^2| leq 2$

Sono abituato a procedere così ( e per cortesia non mi consigliate altri metodi, aiutatemi a risolvere l'esercizio per come so farlo io! )

Due sistemi di disequazioni. Il primo: (non so fare il sistema con LaTex per cui scrivo 1a e 1b per il primo sistema, 2a e 2b per il secondo)

1a) $ |ln(1-x)^2| geq 0$
1b) $ln(1-x)^2 leq 2$

2a) $|ln(1-x)^2! < 0$
2b) $ln(1-x)^2 geq -2$

adesso, per il primo sistema mi trovo le soluzioni (verificate su wolframalpha)

1a) $ x leq 0 vee x geq 2 $
1b) $ 1-e leq x leq 1+e $

mentre per il secondo
2a) $ 0 ma la disequazione 2b non mi trovo con il risultato. Quello corretto del sistema numero 2 dovrebbe essere

$ 0 leq x leq (e-1)/e vee (1+e)/e leq x leq 2 $


procedo così

$ln(1-x)^2 geq -2 rightarrow (1-x)^2 geq 1/e^2 rightarrow x^2-2x+1-1/e^2 geq 0$

$x^2 -2x + (e^2-1)/e^2 geq 0$

calcolo il delta

$Delta = 4 - (4e^2 - 4)/e^2 rightarrow sqrt(Delta) = 2- (2e - 2)/e$

e da qui in poi mi confondo sempre, tant'è che provandolo a fare due o tre volte ho ottenuto sempre risultati diversi, tutti errati ...

Mi sapete dire come si risolve la disequazione 2b ? per favore ho bisogno di vedere i passaggi chiave del delta e delle due soluzioni ....

[giovx24]

ciao,
il valore assoluto è sempre maggiore o uguale a zero quindi la prima equazione che hai scritto è sempre vera a parte per $x = 1$ che non fa parte del dominio.
la terza equazione che hai scritto ($2a$) non ha soluzioni, per lo stesso motivo di prima.
quindi i sistemi che hai scritto non ti portano alla soluzione.
basta mettere a sistema $1b$ e $2b$ per ottenere la soluzione
inoltre per risolvere queste equazioni ti stai complicando la vita, ottenendo risultati a occhio errati, vedi se c'è qualche proprietà dei logaritmi che può esserti utile.

[Mephlip]

Ciao! Dici che non vuoi modi alternativi a quello che già conosci, tuttavia sappi che $|a| \leq b \Leftrightarrow -b \leq a \leq b$ e sapere questo ti risparmierebbe un mucchio di conti. Ti consiglio caldamente invece di aprirti ad altri modi, che spesso aiuta!
Il sistema che devi risolvere è questo comunque
$$\begin{cases} \ln(1-x)^2 \leq 2, \ \text{se} \ \ln(1-x)^2 \geq 0 \ \text{e} \ x \ne 1 \\ \ln(1-x)^2 \geq -2, \ \text{se} \ \ln(1-x)^2 < 0 \ \text{e} \ x \ne 1 \end{cases}$$

"Pemberton!":
$Delta = 4 - (4e^2 - 4)/e^2 rightarrow sqrt(Delta) = 2- (2e - 2)/e$

Questo è un errore grave, la radice quadrata non si estrae così come hai fatto facendo la radice di ogni termine della somma; quindi qualsiasi informazione hai dedotto da questo conto in avanti è falsa.

[@melia]

$ |ln(1-x)^2| leq 2 $ se vuoi spezzare il modulo quello che hai scritto NON va bene perché invece di usare SOLO l'argomento, lo hai lasciato in modulo.
Hai due sistemi dei quali devi UNIRE le soluzioni, non certo seguire il consiglio di Mephlip che ti chiede di intersecarle

$\{( ln(1-x)^2 geq 0 ),( ln(1-x)^2 leq 2 ):}$ e $\{( ln(1-x)^2 leq 0 ),(ln(1-x)^2 geq -2):}$

Vediamo la 2b, ma potresti usare lo stesso sistema anche per la 1b

$ln(1-x)^2>= -2$ diventa $(1-x)^2>= e^(-2)$ disequazione di secondo grado con il maggiore, basta trovare le soluzioni dell'equazione associata e prendere i valori esterni, le soluzioni dell'equazione associata sono

$(1-x)^2=e^(-2) -> 1-x=+-e^(-1)$ quindi $ x=1+-1/e$

la disequazione ha soluzioni

$ x<=1-1/e vv x>=1+1/e$, o, se preferisci, $ x<=(e-1)/e vv x>=(e+1)/e$
la seconda scrittura è più compatta, ma la prima ti dice chiaramente che il primo valore è compreso tra 0 e 1, mentre il secondo è compreso tra 1 e 2.

[Mephlip]

Certamente ha ragione @melia, intendevo la prima equazione del sistema con la condizione scritta alla sua destra unita unita alla seconda equazione del sistema scritta alla sua destra (l'ho scritto sbagliato, chiedo scusa)!

[@melia]

Allora adesso quello che dici è assolutamente corretto, ma non si scrive come nel precedente intervento. Sai che matematica è molto rigorosa.

[Liiibbb]

"Mephlip":Ciao! Dici che non vuoi modi alternativi a quello che già conosci, tuttavia sappi che $|a| \leq b \Leftrightarrow -b \leq a \leq b$ e sapere questo ti risparmierebbe un mucchio di conti. Ti consiglio caldamente invece di aprirti ad altri modi, che spesso aiuta!
Il sistema che devi risolvere è questo comunque
$$\begin{cases} \ln(1-x)^2 \leq 2, \ \text{se} \ \ln(1-x)^2 \geq 0 \ \text{e} \ x \ne 1 \\ \ln(1-x)^2 \geq -2, \ \text{se} \ \ln(1-x)^2 < 0 \ \text{e} \ x \ne 1 \end{cases}$$
[quote="Pemberton!"]
$Delta = 4 - (4e^2 - 4)/e^2 rightarrow sqrt(Delta) = 2- (2e - 2)/e$

Questo è un errore grave, la radice quadrata non si estrae così come hai fatto facendo la radice di ogni termine della somma; quindi qualsiasi informazione hai dedotto da questo conto in avanti è falsa.[/quote]

Perdonami, nel sistema, che sarebbe il metodo più facile e immediato, non capisco i due "se logaritmo maggiore o minore di 0"; o meglio: quello che hai scritto è più una definizione per lo studio del segno, ma non una condizione vero? Cioè alla fine, basterebbe solo risovere il sistema -2

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[@melia]

Abbiamo seguito il ragionamento di Pembenton che ci ha chiesto di aiutarlo nel suo ragionamento e di non seguire strade diverse anche se più semplici.
La via più breve è quella che proponi tu
$-2<=ln(1−x)^2<=2 ^^ x!=1$