Disequazione con logaritmo e valore assoluto

[Sheldon_Cooper1]

Ciao ragazzi,
sono nuovo e vi chiedo subito scusa per la banalità di questo esercizio ma non riesco a venirne a capo, penso per qualche lacuna a livello concettuale, ecco qui:

\(\ \ ln|2-x^2|+ln|x+1|\geq0 \)

Allora, io ho calcolato il dominio mettendo a sistema le condizioni di esistenza degli argomenti dei due logaritmi:

\(\ 2-x^2>0\ \rightarrow-\sqrt{2}
\(\ 1+x>0\ \rightarrow x>-1 \)

e facendo l'intersezione ho trovato il dominio \(\ D: x<-1 \vee x<\sqrt{2} \)

a questo punto sposto a destra il secondo logaritmo e considero solo gli argomenti

\(\ log|2-x^2|\geq-log|1+x|\ \rightarrow |2-x^2|\geq-|1-x| \)

adesso sono dubbioso: risolvo la disequazione spostando tutto a sinistra e la risolvo come se fosse una normale disequazione con i valori assoluti, quindi per risolverla determino gli intervalli di positività/negatività dei valori assoluti e verifico che le soluzioni trovate siano accettate dal dominio o devo comportarmi diversamente?
Grazie in anticipo e scusate la prolissità, ma vorrei capire come procedere a livello generale

[Zero87]

Intanto ti faccio riflettere. Sei sicuro del dominio?

"Sheldon_Cooper":Allora, io ho calcolato il dominio mettendo a sistema le condizioni di esistenza degli argomenti dei due logaritmi:

\(\ 2-x^2>0\ \rightarrow-\sqrt{2}
\(\ 1+x>0\ \rightarrow x>-1 \)

Da come hai scritto il testo iniziale manca qualche valore assoluto...

[Sheldon_Cooper1]

Ciao, ricontrollando ora mi viene il dominio \(\ D={[-1;\sqrt{2}]} \) cioè compreso tra\(\ -1 \) e\(\ \sqrt{2} \).

E' corretto? Perché non saprei che altri valori assoluti studiare..grazie

[Zero87]

Guarda, te la faccio più diretta, hai $ln |2-x^2| + ln |x+1| \ge 0$.

Condizioni di esistenza del logaritmo (es. il primo): argomento strettamente positivo.
$ln|2-x^2|$ esiste ed è definita per $|2-x^2| > 0$, ...

[Sheldon_Cooper1]

Ok penso di aver capito, in pratica come argomento devo prendere tutto il valore assoluto, quindi: il valore assoluto è una quantità sempre positiva ma avendo la disequazione strettamente maggiore determino i valori che lo annullano

\(\ |2-x^2|>0\ \rightarrow 2-x^2\neq0\ \rightarrow x\neq\pm\sqrt{2}\)

\(\ |x+1|>0\ \rightarrow x+1\neq0\ \rightarrow x\neq-1\)

perciò il dominio è tutto \(\mathbb{R} \) esclusi questi valori, giusto?

[@melia]

Stavolta sì.

[Sheldon_Cooper1]

Ottimo grazie, adesso per quanto riguarda la risoluzione elimino i logaritmi e considero solo gli argomenti, ovvero i valori assoluti? Scusate l'insistenza

[@melia]

\( \ \ ln|2-x^2|+ln|x+1|\geq0 \)Non puoi "eliminare" niente, volendo puoi fare la formula inversa, ma con un'addizione non te ne fai niente.
Prima elimina l'addizione
$ ln|2-x^2|+ln|x+1|\geq0 -> ln(|2-x^2|*|x+1|)\geq0 $ e il logaritmo naturale è positivo quando il suo argomento è maggiore di 1, quindi $(|2-x^2|*|x+1|)\geq1 -> |(2-x^2)(x+1)|\geq1$ adesso devi risolvere la disequazione modulare.

[axpgn]

Penso intendesse questo:
$ln|2-x^2|+ln|x+1|>=0\ ->\ ln|2-x^2|>=-ln|x+1|\ ->\ |2-x^2|>=1/|x+1|$

[@melia]

Sicuro?

"Sheldon_Cooper":
\(\ log|2-x^2|\geq-log|1+x|\ \rightarrow |2-x^2|\geq-|1-x| \)

[axpgn]

Sì, la sua intenzione è quella: è la sua implementazione che lascia un po' a desiderare

@Sheldon: hai detto che passi a considerare gli argomenti ma il "meno" davanti al logaritmo non fa parte dell'argomento quindi prima si deve far qualcosa

[Sheldon_Cooper1]

@@melia: grazie, in pratica utilizzando le proprietà hai trasformato la somma dei logaritmi nel prodotto dei loro argomenti, poi hai eliminato i logaritmi naturali da ambo i membri ed infine hai considerato direttamente il valore assoluto del prodotto dei due fattori con il modulo, così è molto più intuitivo

@axpgn: si hai ragione, la mia implementazione non è il massimo, penso che per eliminare il meno davanti all'argomento tu abbia considerato la proprietà secondo cui il logaritmo del reciproco di un numero è uguale all'opposto del logaritmo del numero stesso, giusto?

[axpgn]

Yes.

$-ln|x+1|=ln(|x+1|)^(-1)=ln(1/|(x+1)|)$

[Sheldon_Cooper1]

Perfetto, grazie ancora per l'aiuto!