Disequazione con due radicali

[Little58]

In vista dei test di recupero per ing. mi sto "allenando", con gli argomenti del programma, tra cui queste disequazioni.
Ho fatto molti esercizi e ben o male riescono tutti ma sono due giorni che sbatto la testa su questo:
il numero 7 della pagina
http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... 5_2010.pdf

In breve quello che faccio:
-Imposto il sistema
-le condizioni dei radicali si ottengono subito
-la risolvente ha bisogno di due elevazioni per liberarsi completamente delle radici, ma qui arrivo ad una diseq. di quarto grado da cui non riesco a trovare soluzioni. (provato ruffini)

Ah se è il caso la scrivo con i dollari nel post. (Prima volta che lo faccio yeah ;D)

[Little58]

$sqrt(2x-x^2)< sqrt(2x^2-4)+x$

[Gaussman]

campo d'esistenza $\sqrt 2\le x\le 2$. Sotto questo vincolo vale:
$\sqrt{2x-x^2}\le 1<\sqrt 2\le \sqrt{2x^2-4}+x$
perchè $x\ge \sqrt 2$ e la radice è maggiore o uguale a 0

[Little58]

Grazie per la risposta ma non ti seguo :O

P.s. Ho capito la condizione, sfruttando la x, pero' non riesco a proseguire su questo filo. (Mai fatto un ragionamento così o.o)

[Gaussman]

in che senso non riesci a proseguire su questo filo?
Comunque hai ragione, forse è un po' anomalo, ma secondo me è il modo più veloce e anche il primo che mi è venuto in mente...

[Little58]

Penso anche io che sia il piu' veloce, se non altro perche' non vai ad impostare il "sistema classico", oppure lo imposti e ti stai dedicando solo alla parte risolutiva?

Non capisco come da quello che hai scritto si possa risalire alla singola soluzione da mettere in grafico.

[giammaria2]

Gaussman dice che la disequazione è verificata in tutto il suo campo di esistenza, perché il primo membro è minore di 1 e il secondo maggiore di $sqrt2$; lascio però a lui il piacere di spiegarti l'intero ragionamento. Io ho provato col metodo tradizionale ed effettivamente si arriva al quarto grado; scrivendo come equazione e salvo errori di distrazione, ottengo
$2x^4-4x^3-3x^2+4x+4=0$
che è scomponibile con Ruffini in
$(x-2)(2x^3-3x-2)=0$
non più scomponibile con Ruffini.

[franced]

L'autore dell'esercizio sono io.
L'esercizio è pensato per essere risolto graficamente...
è facile, sul serio!

[Little58]

Ma fantastico parlare direttamente con l'autore
Ne ho risolto uno simile sempre nella stessa pagina, graficamente, si arrivava ad un $X^3+X=2$ e graficamente mi riusciva. Pero' con questo non mi trovo, diciamo che al momento sto pure per uscire e non ho il tempo di rifarmi tutto

[franced]

La disequazione è la seguente:

[tex]\sqrt{2 x - x^2} < \sqrt{2 x^2 - 4} + x[/tex]

il dominio dell'equazione è

[tex]\left\{ \begin{array}{l}
2 x - x^2 \geq 0 \\[2mm]
2 x^2 - 4 \geq 0
\end{array} \right. \;\; \Rightarrow \;\; \sqrt{2} \leq x \leq 2[/tex]

ora osserviamo che:

1) la funzione [tex]f(x)=\sqrt{2 x - x^2}[/tex] è decrescente sull'intervallo [tex]\sqrt{2} \leq x \leq 2[/tex]
ed assume come valore massimo [tex]\sqrt{2 \sqrt{2} - 2} < 1[/tex] ;

2) la funzione [tex]g(x) = \sqrt{2 x^2 - 4} + x[/tex] è crescente sull'intervallo [tex]\sqrt{2} \leq x \leq 2[/tex]
ed assume come valore minimo [tex]\sqrt{2} > 1[/tex] ;

quindi, sull'intervallo [tex]\sqrt{2} \leq x \leq 2[/tex] abbiamo:

[tex]\sqrt{2 x - x^2} < 1 < \sqrt{2} \leq \sqrt{2 x^2 - 4} + x[/tex]

quindi possiamo concludere che la disequazione iniziale è soddisfatta per [tex]\sqrt{2} \leq x \leq 2[/tex].