Disequazione

[qxtr01]

ciao,

come si fa a risolvere la seguente disequazione? $x\sqrt{x^2-4}>x^2-4$
non credo proprio si possa elevare al quadrato entrambi i membri prima di aver fatto qualche operazione prima...

grazie.

[maurymat]

In generale una dis irrazionale del tipo:

$sqrt(f(x))>g(x)$ ammette le soluzioni date dai due sistemi

$\{ (f(x)>=0),(g(x)<0):} $

e

$\{(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^2):}$

Nel tuo caso:
Intanto isola la radice al primo membro portando la x sotto al 2° membro

Avrai $f(x)=x^2-4$ e $g(x)=(x^2-4)/x$

Imposta i due sitemi e risolvili
le soluzioni della dis. sono date dall'unione delle soluzioni dei due sistemi

[olaxgabry]

"maurymat":In generale una dis irrazionale del tipo:

$sqrt(f(x))>g(x)$ ammette le soluzioni date dai due sistemi

$\{ (f(x)>=0),(g(x)<0):} $

e

$\{(g(x)>=0),(f(x)>[g(x)]^2):}$

Nel tuo caso:
Intanto isola la radice al primo membro portando la x sotto al 2° membro

Avrai $f(x)=x^2-4$ e $g(x)=(x^2-4)/x$

Imposta i due sitemi e risolvili
le soluzioni della dis. sono date dall'unione delle soluzioni dei due sistemi

Mi viene un dubbio: quando isoli la radice al primo membro, dividendo per la variabile $x$, non stai considerando solo il caso in cui essa sia maggiore di zero? A mio parere il sistema che proponi si deve studiare con il vincolo che $x>0$.
Dato che $x$ può essere anche minore di zero, si dovrebbe anche considerare il caso
$sqrt(x^2-4)<(4-x^2)/x$
con il vincolo $x<0$.
La mia chiaramente non è una critica, ma una considerazione.
Ciao

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"qxtr01":ciao,

come si fa a risolvere la seguente disequazione? $x\sqrt{x^2-4}>x^2-4$
non credo proprio si possa elevare al quadrato entrambi i membri prima di aver fatto qualche operazione prima...

grazie.

Una condizione necessaria è $x^2-4 ge 0$ (che significa $x le -2$ oppure $x ge 2$). Ora questa condizione dice in particolare che il secondo membro è sempre positivo. Quindi non hai nessuna soluzione se il primo è negativo o nullo, ovvero se $x le 0$. Quindi dev'essere anche $x ge 0$, e quindi ricordando la prima condizione, dev'essere $x ge 2$.
Sotto questa condizione i due membri sono non negativi, quindi puoi elevare al quadrato.

[f.bisecco]

La tua considerazione è giusta...invece di diveidere, il che crea problemi sul verso della disequazione, prova a portare la $x$ sotto radice...Poi considera i sistemi su elencati...

[olaxgabry]

Infatti diviedere per $x$ non è il metodo più semplice di procedere in quanto si può cadere in errore nel non considerare che $x$ possa assumere anche valori negativi!
Ciao

[qxtr01]

ok credo di aver capito... quindi la soluzione è $x>2$ vero?

[olaxgabry]

Yes!

[qxtr01]

perfetto allora! grazie tante a tutti!