Discussione sui fasci di coniche

[DarkAngel1]

ho bisogno di studiare questa specifico argomento di geometria analitica,
ovvero dato l' eq generica di un fascio di coniche, individuare x quali
valori dei coefficienti ottengo una circonferenza, un' iperbole, una
parabola o un' ellisse.

qualcuno potrebbe darmi una dritta, esponendo brevemente la trattazione o
fornendomi 1 link utile x imparare come si fa?

grazie.

[Nidhogg]

Credo che tu intenda questo:

Ogni equazione quadratica individua una sezione conica e tutte le sezioni coniche si possono ottenere dall'equazione quadratica nella forma:
$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$

Se $h^2=ab$, l'equazione rappresenta una parabola;
Se $h^2 Se $h^2>ab$, l'equazione rappresenta una iperbole;
Se $h^2

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[GIOVANNI IL CHIMICO]

Ma questa cosa la si può anche affrontare con le forme quadratiche, la matrice associata e gli autovalori?

[Nidhogg]

"GIOVANNI IL CHIMICO":Ma questa cosa la si può anche affrontare con le forme quadratiche, la matrice associata e gli autovalori?

Si. Si utilizza la rappresentazione matriciale delle sezioni coniche.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Mi potresti raccontare come si fa? Sempre se hai tempo o se ti va....

[Nidhogg]

$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$

Ponendo $2h=E$, $2g=C$, $2f=D$ e $c=F$, otteniamo: $P-=Ax^2+By^2+Cx+Dy+Exy+F=0$, che possiamo scrivere come: $h^T*A_Px=0$,

dove h è il vettore $x=[(1),(x),(y)]$

e $A_P$ la matrice: $A_P=[(F,C/2,D/2),(C/2,A,E/2),(D/2,E/2,B)]$

Ovviamente in base al determinante si può determinare il tipo di conica. Se hai bisogno posto anche questo.

Ciao, Ermanno!

[DarkAngel1]

grazie mille leonardo, intendevo proprio quello!

[GIOVANNI IL CHIMICO]

magari se potessi anche far vedere la parte con il determinate...saresti gentilissimo!

[Nidhogg]

"GIOVANNI IL CHIMICO":magari se potessi anche far vedere la parte con il determinate...saresti gentilissimo!

Allora, se $|A_P|=0$ la conica è degenere.

Se la conica P non è degenere, allora per vedere di che tipo è la sezione conica si calcola il determinante della matrice generata dall'eliminazione della prima riga e della prima colonna della matrice $A_P$, quindi $A_11$.

La matrice $A_11$ è: $A_11=[(A,E/2),(E/2,B)]$.

Se $|A_11|=0$ allora si ha una parabola.
Se $|A_11|<0$ allora si ha un'iperbole.
Se $|A_11|>0$ allora si ha un'ellisse.

Ora per distinguere tra ellisse e circonferenza basta verificare $A_11=A_22$. Se questa uguaglianza è vera allora si ha una circonferenza.

Sono stato gentile?

Ciao, Ermanno.

[Nidhogg]

"GIOVANNI IL CHIMICO":magari se potessi anche far vedere la parte con il determinate...saresti gentilissimo!

Volevo sapere se era chiaro il procedimento da me utilizzato e inoltre in quale specifico caso tu lo hai applicato (se è stato applicato).

Grazie, Ermanno.

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Gentilissimo! Diciamo che la teoria mi gusta più che l'esercizio!