Discussione equazioni letterali di secondo grado
Salve ragazzi.
Vi scrivo perchè in questo anno (frequento il secondo anno di un liceo scientifico opz. scienze applicate), ahime, ho avuto una prof non troppo simpatica a cui interessa poco spiegare le cose a fondo e quindi la mia media è scesa vertiginosamente. La matematica mi è sempre piaciuta ed è la mia materia preferita ma quest'anno proprio non riesco a capirla a dovere.
Stiamo affrontando le equazioni di secondo grado e dopo circa un mesetto sulla risoluzione di equazioni di secondo grado complete e equazioni parametriche siamo passati alla discussione di equazioni letterali e alla loro risoluzione (da quanto detto dalla professoressa le equzioni letterali sono completamente diverse dalle parametriche ma a me è sembrato di capire che sono la stessa cosa).
Ora queste maledette equazioni letterali:
1) La professoressa le risolve alla lavagna senza esplicare i ragionamenti;
2) Sul libro non ci sono.
Non mi rimane che chiedere a voi.
Mettiamo che ho un'equazione del tipo:
(a-2)x^2-a^2x + 2a^2 = 0 (Scusate se ve la scrivo così ma non sono stato capace di scriverla con "aggiungi formula")
Da cosa devo iniziare per risolvere e discutere quest'equazione? Che passi devo fare?
Bene o male con equazioni come quella qualcosa riesco a buttare giù, ma ci sono equazioni come questa dove non sò assolutamente cosa fare:
((ab/(a-b)) (2x - 1) + (a + b)x^2 = (a + b) x (Ci sono due parametri)
Scusate ancora per il modo in cui ho scritto le equazioni e grazie mille per la pazienza. (Ce ne vuole!)
Vi scrivo perchè in questo anno (frequento il secondo anno di un liceo scientifico opz. scienze applicate), ahime, ho avuto una prof non troppo simpatica a cui interessa poco spiegare le cose a fondo e quindi la mia media è scesa vertiginosamente. La matematica mi è sempre piaciuta ed è la mia materia preferita ma quest'anno proprio non riesco a capirla a dovere.
Stiamo affrontando le equazioni di secondo grado e dopo circa un mesetto sulla risoluzione di equazioni di secondo grado complete e equazioni parametriche siamo passati alla discussione di equazioni letterali e alla loro risoluzione (da quanto detto dalla professoressa le equzioni letterali sono completamente diverse dalle parametriche ma a me è sembrato di capire che sono la stessa cosa).
Ora queste maledette equazioni letterali:
1) La professoressa le risolve alla lavagna senza esplicare i ragionamenti;
2) Sul libro non ci sono.
Non mi rimane che chiedere a voi.
Mettiamo che ho un'equazione del tipo:
(a-2)x^2-a^2x + 2a^2 = 0 (Scusate se ve la scrivo così ma non sono stato capace di scriverla con "aggiungi formula")
Da cosa devo iniziare per risolvere e discutere quest'equazione? Che passi devo fare?
Bene o male con equazioni come quella qualcosa riesco a buttare giù, ma ci sono equazioni come questa dove non sò assolutamente cosa fare:
((ab/(a-b)) (2x - 1) + (a + b)x^2 = (a + b) x (Ci sono due parametri)
Scusate ancora per il modo in cui ho scritto le equazioni e grazie mille per la pazienza. (Ce ne vuole!)
Risposte
Non c'è niente di particolare ... sviluppi l'espressione e ti ritroverai con "qualcosa" che moltiplica $x^2$ e "qualcos'altro" che moltiplica $x$ più il "termine noto" ...
Forse, con "discussione" si intende trovare le condizioni sui parametri.... ops, sulle lettere .... perchè ci siano 2,1 o 0 soluzioni, quindi esaminare il segno del delta, risolvendo una disequazione dove le incognite sono la lettera (o le lettere, se sono più di una). Naturalmente, se le lettere sono due, non troverai soluzioni puramente numeriche, ma avrai una lettera in funzione dell'altra, che so, per esempio (tiro a caso, non ho fatto i conti) hai una soluzione unica se a = 1/2 b, 2 se a supera e nessuna se è minore.
Magari si potrà anche trovare quando l'equazione si abbassa di grado, azzerando il coefficiente di x quadro, e cose simili. Per esempio, anche i casi in cui si azzera il termine di primo grado, o il termine noto, possono avere qualche interesse.
Magari si potrà anche trovare quando l'equazione si abbassa di grado, azzerando il coefficiente di x quadro, e cose simili. Per esempio, anche i casi in cui si azzera il termine di primo grado, o il termine noto, possono avere qualche interesse.
Considera nell'ordine:
1) coefficiente di $x^2$ uguale a $0$.
L'equazione diventa di 1° grado ed ha una sola soluzione che puoi calcolare dando alla lettera il valore che annulla il coefficiente di $x^2$.
2) calcola il $Delta$.
Sai che si hanno: due radici distinte per $Delta>0$
due radici coincidenti per $Delta=0$
mentre non ci sono soluzioni per $Delta<0$
Si tratta di determinare quali valori della/e lettera/e verificano le condizioni di cui sopra.
1) coefficiente di $x^2$ uguale a $0$.
L'equazione diventa di 1° grado ed ha una sola soluzione che puoi calcolare dando alla lettera il valore che annulla il coefficiente di $x^2$.
2) calcola il $Delta$.
Sai che si hanno: due radici distinte per $Delta>0$
due radici coincidenti per $Delta=0$
mentre non ci sono soluzioni per $Delta<0$
Si tratta di determinare quali valori della/e lettera/e verificano le condizioni di cui sopra.
Ti risolvo come esempio il secondo esercizio
$(ab)/(a-b)*(2x-1)+(a+b)x^2-(a+b)x=0$
Poichè il denominatore è letterale bisogna imporre la condizione di esistenza: $a!=b$
Liberando dal denominatore ed ordinando ottieni:
$(a^2-b^2)x^2-(a^2-2ab-b^2)x-ab=0$
Ora inizia la discussione
1) Se $a^2-b^2=0=>a=-b$ (ricorda la C.E.) l'equazione diventa: $-2b^2x+b^2=0=>x=1/2$
2) $Delta=(a^2-2ab-b^2)^2+4ab(a^2-b^2)=......=(a^2+b^2)^2$
Ora $Delta$ è positivo se $a!=0$ o $b!=0$ mentre si annulla quando $a$ e $b$ sono entrambi nulli (cosa impossibile nel nostro caso per la C.E.).
In conclusione se:
$a=-b$ l'equaz. ha una sola soluzione $x=1/2$
$a!=+-b$ l'equaz. ha due soluzioni distinte (che puoi calcolare ed indicare)
$(ab)/(a-b)*(2x-1)+(a+b)x^2-(a+b)x=0$
Poichè il denominatore è letterale bisogna imporre la condizione di esistenza: $a!=b$
Liberando dal denominatore ed ordinando ottieni:
$(a^2-b^2)x^2-(a^2-2ab-b^2)x-ab=0$
Ora inizia la discussione
1) Se $a^2-b^2=0=>a=-b$ (ricorda la C.E.) l'equazione diventa: $-2b^2x+b^2=0=>x=1/2$
2) $Delta=(a^2-2ab-b^2)^2+4ab(a^2-b^2)=......=(a^2+b^2)^2$
Ora $Delta$ è positivo se $a!=0$ o $b!=0$ mentre si annulla quando $a$ e $b$ sono entrambi nulli (cosa impossibile nel nostro caso per la C.E.).
In conclusione se:
$a=-b$ l'equaz. ha una sola soluzione $x=1/2$
$a!=+-b$ l'equaz. ha due soluzioni distinte (che puoi calcolare ed indicare)
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