Discussione di problemi di geometria razionale

[Iperboloide]

Buonasera a tutti!
Ho questo problema da discutere che m'affligge:
Internamente al triangolo isoscele ABC, di base AB=2a e perimetro 8a, condurre la corda MN parallela ad AC in modo che sia: AC+AM+CN=(k+1)MN.

Allora, ho fatto la figura. Mi sono calcolato per prima cosa i lati obliqui congruenti: $AC=CB=(8a-2a)/2=3a$.
Pongo $MB=x$.
Ora devo imporre i limiti di variabilità per la realtà del problema: essi sono $0
Ora, per risolvere il problema, mi sono bloccato in una maniera allucinante. Come faccio ad andare avanti? Ho capito che forse devo usare i corollari del teorema di Talete, ma non so come applicarli, avendo posto $MB=x$. Potete aiutarmi?

[Nicole931]

I limiti che hai messo sono giusti

Puoi applicare il corollario del teorema di Talete che afferma : "la parallela ad un lato di un triangolo determina sugli altri due lati (o sui loro prolungamenti) segmenti direttamente proporzionali"

quindi anche $BMN$ è un triangolo isoscele, ed allora $MN=x$ ; inoltre puoi trovare, tramite la proporzionalità, anche $BN$ in funzione di $x$

prova ad iniziare così e vedi se riesci a proseguire

[giammaria2]

EDIT: scusate la mia stupidità: avevo letto "parallela ad AB". Quanto segue è sbagliato.

Come prima cosa suggerisco che tutti mettiamo le lettere nello stesso modo: il testo dice che la base è [tex]AB[/tex], quindi il secondo triangolo isoscele è [tex]CMN[/tex] e non [tex]BMN[/tex]. Dal testo non risulta dov'è [tex]M[/tex] ma mi viene spontaneo porlo su [tex]AC[/tex] e trovo conferma nel fatto che è nominato [tex]AM[/tex]: l'incognita da prendere sarebbe quindi [tex]AM=x[/tex]; personalmente, preferirei [tex]CM=x[/tex], ma cambia poco.

[Iperboloide]

Allora, intanto vi ringrazio tanto!
oggi abbiamo corretto tutto a scuola, e il prof ha detto che c'era un errore nel testo, quindi è saltato tutto quello che avevo fatto! Ma grazie mille lo stesso!
Ora sono alle prese con un altro problema, che sembra essere più difficilotto: "Determina i lati e la base AB di un triangolo isoscele di perimetro 2p, sapendo che il rapporto tra la somma dei lati e il triplo della base è k. Poni $AB=2x$. Discussione."

Allora, ho fatto la figura. Ma stavolta ho avuto difficoltà nel determinare i limiti di variabilità.
Ho detto che sono $2x>0 hArr x>0$, giusto o devo mettere altri limiti? Il caso estremo da me individuato non l'ho accettato perché se $x=0 hArr AB=0 hArr (2p)/0=k$, cosa inconcepibile, perché il denominatore è nullo.
Fino a qui, ho fatto bene?

[giammaria2]

C'è anche un'altra limitazione. Poiché la somma dei lati obliqui è maggiore della base, il perimetro è maggiore del doppio della base: $2p>2*2x->x

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[Iperboloide]

Mmm... ma come hai fatto a capire che bisogna imporre anche questa limitazione?

[giammaria2]

Il punto di partenza è stato: un dato è il perimetro, e di sicuro la base è minore del perimetro; non ci sarà anche una limitazione più ristrettiva? Il resto del ragionamento lo vedi sopra. Avrei anche potuto usare il teorema "In un triangolo, ogni lato è minore del semiperimetro" ma ho preferito evitarlo perché poco noto.