Discussione di modelli parametrici con parabola fissa
Salve.
Devo discutere questa equazione:
$(m-1)x^2+(m+1)x+2-m=0$ per $-1<=x<=1$
con il metodo della parabola fissa.
Potreste spiegarmi come si fa, con i vari passaggi?
Grazie
Devo discutere questa equazione:
$(m-1)x^2+(m+1)x+2-m=0$ per $-1<=x<=1$
con il metodo della parabola fissa.
Potreste spiegarmi come si fa, con i vari passaggi?
Grazie
Risposte
In questo caso, la cosa da fare è porre
$x^2=y$
in modo che il sistema si trasforma in
${(y=x^2),((m-1)y+(m+1)x+2-m=0),(-1<=x<=1):}$
Ora, la prima equazione rappresenta una parabola fissa, che non dipende da m.
E' anche semplicissima da disegnare.
La seconda equazione è un fascio di rette da studiare.
Sei in grado di studiarlo?
Se si, una volta trovate le due rette generatrici e il centro del fascio, devi trovare le rette caposaldo (ovvero quelle che passano per l'estremo dell'arco che ti interessa).
L'estremo in questione è (-1,1).
Evidenzia quindi l'arco di parabola che ti interessa, racchiuso in quell'intervallo.
Intersecando il fascio con questo arco, vedi se c'è una o due intersezioni (può essere necessario trovare anche la retta tangente).
Spero sia chiaro, in caso di dubbi facci sapere.
Ciao
$x^2=y$
in modo che il sistema si trasforma in
${(y=x^2),((m-1)y+(m+1)x+2-m=0),(-1<=x<=1):}$
Ora, la prima equazione rappresenta una parabola fissa, che non dipende da m.
E' anche semplicissima da disegnare.
La seconda equazione è un fascio di rette da studiare.
Sei in grado di studiarlo?
Se si, una volta trovate le due rette generatrici e il centro del fascio, devi trovare le rette caposaldo (ovvero quelle che passano per l'estremo dell'arco che ti interessa).
L'estremo in questione è (-1,1).
Evidenzia quindi l'arco di parabola che ti interessa, racchiuso in quell'intervallo.
Intersecando il fascio con questo arco, vedi se c'è una o due intersezioni (può essere necessario trovare anche la retta tangente).
Spero sia chiaro, in caso di dubbi facci sapere.
Ciao
"+Steven+":
In questo caso, la cosa da fare è porre
$x^2=y$
in modo che il sistema si trasforma in
${(y=x^2),((m-1)y+(m+1)x+2-m=0),(-1<=x<=1):}$
Ok, fin qui ci sono.
Ora, la prima equazione rappresenta una parabola fissa, che non dipende da m.
E' anche semplicissima da disegnare.
La seconda equazione è un fascio di rette da studiare.
Sei in grado di studiarlo?
Questo è un punto che mi blocca. Potresti spiegarmi meglio come si fa?
La parabola dovresti saperla disegnare senza problemi.
Studiamo il fascio.
$(m-1)y+(m+1)x+2-m=0$
svolgi le parentesi
$my-y+mx+x+2-m$
raccogli m
$m(y+x-1)+x-y+2$
Quindi le rette
$y+x-1=0$
$x-y+2=0$
sono le generatrici del fascio.
In particolare, ottieni la seconda retta se m=0, mentre la prima retta è chiamata retta critica, perchè nessun valore di m te la fa ottenere, ma per valori grandi ci si avvicina sempre di più
Si dice quindi che oteniamo la retta critica per m uguale a infinito (oo)
Ora metti a sistema le due rette per trovare il centro.
La discussione è semplice, ma non da spiegare senza disegno...
Devi prendere gli estremi dell'arco considerato e sostituire quelle coordinate per vedere il valore di m corrispondente.
Ti consiglio di servirti del libro, che offrirà esempi illustrati, o al limite di fartelo spiegare, figura alla mano, dall'insegnante o da qualcuno in classe che ha capito.
Ciao
Studiamo il fascio.
$(m-1)y+(m+1)x+2-m=0$
svolgi le parentesi
$my-y+mx+x+2-m$
raccogli m
$m(y+x-1)+x-y+2$
Quindi le rette
$y+x-1=0$
$x-y+2=0$
sono le generatrici del fascio.
In particolare, ottieni la seconda retta se m=0, mentre la prima retta è chiamata retta critica, perchè nessun valore di m te la fa ottenere, ma per valori grandi ci si avvicina sempre di più
Si dice quindi che oteniamo la retta critica per m uguale a infinito (oo)
Ora metti a sistema le due rette per trovare il centro.
La discussione è semplice, ma non da spiegare senza disegno...
Devi prendere gli estremi dell'arco considerato e sostituire quelle coordinate per vedere il valore di m corrispondente.
Ti consiglio di servirti del libro, che offrirà esempi illustrati, o al limite di fartelo spiegare, figura alla mano, dall'insegnante o da qualcuno in classe che ha capito.
Ciao
"+Steven+":
La parabola dovresti saperla disegnare senza problemi.
Studiamo il fascio.
$(m-1)y+(m+1)x+2-m=0$
svolgi le parentesi
$my-y+mx+x+2-m$
raccogli m
$m(y+x-1)+x-y+2$
Quindi le rette
$y+x-1=0$
$x-y+2=0$
sono le generatrici del fascio.
In particolare, ottieni la seconda retta se m=0, mentre la prima retta è chiamata retta critica, perchè nessun valore di m te la fa ottenere, ma per valori grandi ci si avvicina sempre di più
Si dice quindi che oteniamo la retta critica per m uguale a infinito (oo)
Ora metti a sistema le due rette per trovare il centro.
Il sistema viene così:
${(y+x-1=0),(x-y+2=0):}$
${(y+y-2-1=0),(x=y-2):}$
Quindi:
$C(-1/2 ; 3/2)$
Giusto?
La discussione è semplice, ma non da spiegare senza disegno...
Devi prendere gli estremi dell'arco considerato e sostituire quelle coordinate per vedere il valore di m corrispondente.
Prendo allora in considerazione la parabola $y=x^2$. Ottengo una parabola con vertice nell'origine ma di cui non conosco altro... Evidenzio l'arco di parabola compreso tra $x=-1$ e $x=1$. A questo punto sostituisto l'ascissa di C alla parabola data all'inizio ($(m-1)x^2+(m+1)x+2-m=0$) ottenendo
$(m-1)1/4+(m+1)1/2+2-m=0$
da cui, facendo m.c.m.:
$m-1+2m+2+8-4m=0$ $->$ $m=-9$
Però è sbagliato, visto che nessuno dei due valori che il libro da come soluzioni è questo
. Cosa c'è che non va?Poi, l'altro valore che mi serve per la soluzione come lo trovo?
Ti consiglio di servirti del libro, che offrirà esempi illustrati, o al limite di fartelo spiegare, figura alla mano, dall'insegnante o da qualcuno in classe che ha capito.
Ciao
Ci provo a usare il libro, ma riesco a capire meglio con voi che mi spiegate direttamente ciò che mi serve sapere, il libro spesso salta un passaggio che da per scontato, ma che per me non è, e non capisco più niente. Per quanto riguarda qualcuno andrebbe anche bene, il problema è che ho un compito domani e se spreco tempo a trovare qualcuno che me lo spieghi non me ne resterebbe per capire tutto, temo
. Cmq ci provo, non si sa mai. L'anno scorso dopo i consigli di questo forum presi un 10 tondo tondo a matematica, e la cosa non la scorderò mai credo, visto che al compito precedente ebbi 4,5...
Ottengo una parabola con vertice nell'origine ma di cui non conosco altro...
Fai una tabellina.
Passa per (-1,1) e (1,1).
A questo punto sostituisto l'ascissa di C alla parabola data all'inizio
No, devi sostituire i valori degli estremi dell'arco.
I due estremi sono A(-1,1) e B(1,1)
Devi sostituire queste coordinate al fascio di rette, ovvero l'equazione con x,y e m.
Purtroppo in questo caso la retta critica si trova di mezzo, e devi considerarla...
Davvero, senza immagine davanti questi sistemi misti diventano un impazzimento.
"+Steven+":Ottengo una parabola con vertice nell'origine ma di cui non conosco altro...
Fai una tabellina.
Passa per (-1,1) e (1,1).
Ti chiedo l'ultima cosa allora: come fai a sapere che passa per quei punti? In pratica, come fai a sapere l'ordinata di questi estremi dell'arco di parabola? Le due ascisse d'accordo, sono date da $-1<=x<=1$, ma l'ordinata?
E del centro trovato in precedenza che me ne faccio?
Dopo di questo praticamente mi è stato "svelato" tutto il meccanismo
Si tratta di fare una tabellina: vediamo l'ordinata del luogo $y=x^2$ quando la sua ascissa vale 1
diventa
$y=(1)^2$ ovvero 1. Pertanto abbiamo (1,1)
Vediamo -1
$y=(-1)^2$ ovvero 1. Pertanto vediamo che quando x vale -1, y vale 1 (-1,1)
Il centro serve per fare il relativo disegno indispensabile per la discussione.
diventa
$y=(1)^2$ ovvero 1. Pertanto abbiamo (1,1)
Vediamo -1
$y=(-1)^2$ ovvero 1. Pertanto vediamo che quando x vale -1, y vale 1 (-1,1)
Il centro serve per fare il relativo disegno indispensabile per la discussione.
Grazie mille, mi sei stato di un'utilità unica facendomi comprendere il meccanismo di queste benedette equazioni parametriche
Ciao!
Ciao!
Figurati, anzi spiacente di non aver fatto di più
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