Discontinuità
Una domanda sulle discontinuità:
prendiamo $f(x) = 1/x$
noi sappiamo che nell'intervallo $[-1,1]$ presenta una discontinuità di I specie (infatti $lim_(xto0^+)1/x!=lim_(xto0^-)1/x)
ma tale funzione è continua nell'intervallo $[0, 1]$ ?!?!
Grazie anticipatamente
Mega-X
prendiamo $f(x) = 1/x$
noi sappiamo che nell'intervallo $[-1,1]$ presenta una discontinuità di I specie (infatti $lim_(xto0^+)1/x!=lim_(xto0^-)1/x)
ma tale funzione è continua nell'intervallo $[0, 1]$ ?!?!
Grazie anticipatamente
Mega-X
Risposte
In $x=0$ la funzione non è definita, pertanto in tale punto non presenta una discontinuità.
quindi nell'intervallo $[0,1]$ la funzione è continua?
No, casomai è continua in $(0,1]$.
Il fatto di non essere discontinua non significa essere continua.
e come fa una funzione a NON essere discontinua e CONTEMPORANEAMENTE a NON essere continua in un punto $c$ ?
Una funzione è discontinua in un punto $x_0$ se:
i) $x_0$ appartiene al dominio
ii) in $x_0$ la funzione non è continua
Ti faccio un esempio, secondo te, ha senso chiedersi se la funzione $f(x)=\sqrt{x}$ è continua in $x=-5$? E allo stesso tempo, ha senso chiedersi se in tale punto è discontinua?
i) $x_0$ appartiene al dominio
ii) in $x_0$ la funzione non è continua
Ti faccio un esempio, secondo te, ha senso chiedersi se la funzione $f(x)=\sqrt{x}$ è continua in $x=-5$? E allo stesso tempo, ha senso chiedersi se in tale punto è discontinua?
oh ok grazie dell'illuminazione.. 
tra poco divento dalailama (così si scrive?)
grazie ancora..
Mega-X
tra poco divento dalailama (così si scrive?
)grazie ancora..
Mega-X
Il discorso è che al liceo ti insegnano a dividere i punti di discontinuità in tre tipi, I, II e III specie, mentre a rigore, questa divisione non è corretta.
A rigore, un punto è di discontinuità se rispetta le due condizioni che ti ho detto, ma al liceo, si trattano come punti di discontinuità anche quei punti fuori dal dominio, per i quali però ha senso definire un limite (nel tuo esempio, il punto $x=0$ viene presentato come discontinuità di seconda specie).
Ad ogni modo, se al liceo te li insegnano in questo modo, fai un po' come vuole il prof, comunque tieni presente anche la definizione rigorosa di punto di discontinuità.
A rigore, un punto è di discontinuità se rispetta le due condizioni che ti ho detto, ma al liceo, si trattano come punti di discontinuità anche quei punti fuori dal dominio, per i quali però ha senso definire un limite (nel tuo esempio, il punto $x=0$ viene presentato come discontinuità di seconda specie).
Ad ogni modo, se al liceo te li insegnano in questo modo, fai un po' come vuole il prof, comunque tieni presente anche la definizione rigorosa di punto di discontinuità.
Tipper, dunque le discontinuità di terza specie non esistono.
hmm ora ho le idee un pò confuse, ti posto il problema per cui io mi ponevo tale domanda (se l'intervallo $[0,1]$ era intervallo continuo in $1/x$)
$int_0^4 lnx dx$
determinare se tale integrale è convergente o meno
io ho detto subito divergente perchè in x=0 rappresenta una discontinuità di seconda specie, ovvero $lim_(xto0^+) lnx = -oo$
però il libro dice che è convergente, quindi devo presupporre che il libro ha sbagliato
però derive6 da ragione al libro
quindi che devo fare con tale integrale?
$int_0^4 lnx dx$
determinare se tale integrale è convergente o meno
io ho detto subito divergente perchè in x=0 rappresenta una discontinuità di seconda specie, ovvero $lim_(xto0^+) lnx = -oo$
però il libro dice che è convergente, quindi devo presupporre che il libro ha sbagliato
però derive6 da ragione al libro
quindi che devo fare con tale integrale?
Vorrei intevenire un poco nella discussione poichè credo che un mio precedente intervento possa aver causato qualche confusione...
Innanzitutto è bene chiarire una cosa: in analisi matematica si definiscono i criteri che permettono di dire se una funzione $f(x)$ è continua in un certo intervallo chiuso $[a,b]$. L'unico criterio per stabilire invece che una funzione $f(x)$ è discontinua in un intervallo chiuso $[a,b]$ è dato dal fatto che non è continua, vale a dire che in almeno un punto dell'intervallo i criteri di continuità non sono verificati. Ciò premesso possiamo affermare che la funzione $f(x)=1/x$ è continua in tutti i punti dell'intervallo chiuso $[0,1]$ dal momento il punto $x=0$ non appartiene a questo intervallo...
Passiamo ora a vedere se esiste o no l'integrale...
$int_0^1 ln x*dx$ (1)
E' bene dire che tale integrale è un integrale improprio, ossia è definito come limite nel seguente modo...
$int_0^1 ln x*dx = lim_(epsilon->0) int_epsilon^1 ln x*dx$ (2)
Per ogni $epsilon>0$ la funzione $ln x$ è uniformemente continua nell'intervallo $[epsilon,1]$ e quindi è integrabile in detto intervallo. Ne segue che l'integrale (1) esiste o no se esiste il limite (2) e non in base a considerazioni relative alla 'discontinuità' della funzione in $x=0$. Se poi interessa sapere se l'integrale (1) esiste finito la risposta è sì e più in generale questo è vero anche se la funzione integranda è $f(x)=ln^n x$ nel qual caso risulta...
$int_0^1 ln^n x*dx= (-1)^n*n!$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Innanzitutto è bene chiarire una cosa: in analisi matematica si definiscono i criteri che permettono di dire se una funzione $f(x)$ è continua in un certo intervallo chiuso $[a,b]$. L'unico criterio per stabilire invece che una funzione $f(x)$ è discontinua in un intervallo chiuso $[a,b]$ è dato dal fatto che non è continua, vale a dire che in almeno un punto dell'intervallo i criteri di continuità non sono verificati. Ciò premesso possiamo affermare che la funzione $f(x)=1/x$ è continua in tutti i punti dell'intervallo chiuso $[0,1]$ dal momento il punto $x=0$ non appartiene a questo intervallo...
Passiamo ora a vedere se esiste o no l'integrale...
$int_0^1 ln x*dx$ (1)
E' bene dire che tale integrale è un integrale improprio, ossia è definito come limite nel seguente modo...
$int_0^1 ln x*dx = lim_(epsilon->0) int_epsilon^1 ln x*dx$ (2)
Per ogni $epsilon>0$ la funzione $ln x$ è uniformemente continua nell'intervallo $[epsilon,1]$ e quindi è integrabile in detto intervallo. Ne segue che l'integrale (1) esiste o no se esiste il limite (2) e non in base a considerazioni relative alla 'discontinuità' della funzione in $x=0$. Se poi interessa sapere se l'integrale (1) esiste finito la risposta è sì e più in generale questo è vero anche se la funzione integranda è $f(x)=ln^n x$ nel qual caso risulta...
$int_0^1 ln^n x*dx= (-1)^n*n!$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
possiamo affermare che la funzione $f(x)=1/x$ è continua in tutti i punti dell'intervallo chiuso $[0,1]$ dal momento il punto $x=0$ non appartiene a questo intervallo...
scusa l'intervallo è chiuso e quindi il punto $0$ appartiene all'intervallo $[0,1]$
"lupo grigio":
l'integrale (1) esiste o no se esiste il limite (2) e non in base a considerazioni relative alla 'discontinuità' della funzione in $x=0$.
scusa ma il mio libro dice: "Se risulta $f(x) >= g(x)$ e $g(x)$ non integrabile in $[a,b]$ allora $f(x)$ non è integrabile. (Lo stesso dicasi per una discontinuità della $f(x)$ nell'estremo $a$ o in un punto $c$ interno all'intervallo considerato)"
ora non so se ha sbagliato il libro, però così dice..
MA CHE PIRLA CHE SONO..
il criterio dice di confrontare gli infiniti e\o gli infinitesimi per integrali che hanno come estremo superiore (così si chiama?) $+oo$..
non centra una beneamata (sorry per il termine) mazza il fatto che sia discontinua in un estremo, perchè (prendiamo l'esempio di $1/x$)
in $[0,1]$ la funzione è continua perchè se disegni non stacchi mai la penna dal foglio (il fatto che non finisci mai di disegnarla tale funzione perchè per $0^+$ la funzione va a $+oo$ non centra nulla, così come la discontinuita di 3° specie perché è eliminabile)
mentre in $[-1,1]$ è discontinua perchè prima o poi (più poi che prima..) staccherai la penna dal foglio perché devi fare il salto da $0^-$ a $0^+$..
scusate per la svista..
Mega-X
il criterio dice di confrontare gli infiniti e\o gli infinitesimi per integrali che hanno come estremo superiore (così si chiama?) $+oo$..
non centra una beneamata (sorry per il termine) mazza il fatto che sia discontinua in un estremo, perchè (prendiamo l'esempio di $1/x$)
in $[0,1]$ la funzione è continua perchè se disegni non stacchi mai la penna dal foglio (il fatto che non finisci mai di disegnarla tale funzione perchè per $0^+$ la funzione va a $+oo$ non centra nulla, così come la discontinuita di 3° specie perché è eliminabile)
mentre in $[-1,1]$ è discontinua perchè prima o poi (più poi che prima..
) staccherai la penna dal foglio perché devi fare il salto da $0^-$ a $0^+$..scusate per la svista..
Mega-X
Ehm!... in effetti ho confuso i concetti di 'aperto' e 'chiuso' 
...
Diciamo allora che sia $f(x)=1/x$ sia $f(x)=ln x$ sono continue nell'intervallo $00$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
... Diciamo allora che sia $f(x)=1/x$ sia $f(x)=ln x$ sono continue nell'intervallo $0
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Qualcuno me risponde??? COsa ho studiato a fare le discontinuità di seconda e terza specie?
Le funzioni che presentano una discontinuità di terza specie, tanto per dirla col gergo usato al liceo, sono funzioni prolungabili per continuità in un punto. Ad esempio, la funzione $f(t) = \sin(\frac{\pi t}{\pi t})$ non è definita in $t=0$, ma definendo una funzione $g(t) = \{(f(t), "se " t\ ne 0),(1, "se " t=0):}$ sia ottiene una funzione $g(\cdot)$ definita e continua su tutto $\mathbb{R}$.
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