Dimostrazioni facili facili

[fireball1]

1) Dimostrare che, preso un qualsiasi numero reale n tale che sia n > 1, elevandolo alla -00 si ottiene come risultato 0.

2) Dimostrare che, preso un qualsiasi numero reale n tale che sia 0 < n < 1, elevandolo alla +00 si ottiene come risultato 0.

[Maverick2]

non capisco cosa ci sia da dimostrare, cmq almeno possiamo dire che basta dimostrarne uno, visto che i due enunciati sono equivalenti, infatti n^(-00)=1/n^(+00), quindi il secondo ponendo m=1/n è uguale al primo.
il conto è ovvio o c'è qualche cosa di profondo che vuoi sapere?

[Pachito1]

Te la faccio io, invece, una domanda per niente scontata:

Cosa significa elevare un numero alla -00 ?

[Maverick2]

beh è chiaro che l'infinito è sempre un limite.
una volta che abbiamo chiarito che a^(-b)=1/a^b facciamo il limite per b che tende ad infinito. in fondo possiamo pensarlo come limite di una successione...

[Pachito1]

Già, si deve passare attraverso le successioni per dare un senso alla frase. Tuttavia a volte ci si scorda di questo passaggio fondamentale che noi oggi prendiamo per scontato, ma che scontato non è. Basti pensare che l'idea di infinito così come la concepiamo oggi è tutto sommato recente.

[fireball1]

L'esercizio che ho proposto è venuto fuori da una domanda che mi ha fatto Giovanni,
membro del forum, via mail: "quanto fa un numero elevato alla meno infinito?".
Allora io ho pensato di rispondergli così, e volevo sapere da voi se la mia risposta
fosse esatta, dal momento che non sono molto esperto di Analisi Matematica: se facciamo il grafico della funzione esponenziale y = a^x, con a > 1, si vede che man mano che le ascisse dei suoi punti diminuiscono, le loro ordinate approssimano sempre più lo zero. Questo si traduce infatti con la seguente scrittura:

a^x = 0 con a > 1

Analogamente, con 0 < a < 1, si ha a^x = 0

[Principe2]

se fai il grafico significa che hai già calcolato il limite..
si deve quindi dimostrare che il limite è effettivamente 0. lo faccio solo nel primo caso, perchè sono analoghi.occorre dimostrare quindi che |a^x| poichè a^x è positivo, basta considerare a^x ti faccio notare che, presente il grafico della funzione logaritmica, per eps piccolo a piacere, log(eps) è negativo e molto grande in modulo, ciò significa, che per rendere, ad esempio a^x<0,0001 bisogna prendere x negativi e grandi in modulo e ciò è perfettamente coerente con il grafico dell'esponenziale, infatti è noto che, per passare da valori maggiori di 1 ad altri sempre maggiori di 1 occorre "spostarsi" di poco, mentre, passando a valori minori di 1, la decrescita diventa sempre più lenta, e ,per avvinarsi a zero, serve molto "tempo"...

ciao, ubermensch

[fireball1]

Io intendevo disegnare il grafico per punti...

[Principe2]

spero che concordi con me sul fatto che la tua potrebbe essere una giustificazione intuitiva e non una dimostrazione matematica...

[fireball1]

Certamente. Io sono qui soprattutto per imparare qualcosa da voi. E allora come dimostriamo che un numero maggiore di 1 elevato alla -00 dà zero?

Modificato da - fireball il 04/04/2004 09:46:08

[Principe2]

 





si deve quindi dimostrare che il limite è effettivamente 0. lo faccio solo nel primo caso, perchè sono analoghi.occorre dimostrare quindi che |a^x|
poichè a^x è positivo, basta considerare a^x

eccola!

le dimostrazioni dei limiti funzionano nel seguente modo:

nota la definizione:

 



limf(x)=l <--> cmq scelto eps>0 esiste M tale che |f(x)-l|
-00            ogni scelta di x

in questo caso l=0, quindi bisogna dimostrare che esiste M tale che |a^x| ciò significa che comunque scelgo eps, prendendo valori di x minori del log(eps) la funzione è vicina a zero per meno di eps.

ciao, ubermensch