Dimostrazioni di relazioni tra insiemi.
Salve gente, scusate la grande ignoranza, ma non riesco a dimostrare semplici relazioni tra insiemi, cioè non capisco come impostare il tutto per arrivare ad una conclusione logica. Per esempio:
"Dimostrare che se A è sottoinsieme di C e B è sottoinsieme di C, allora A unito B è sottoinsieme di C". Come si procede per dimostrare ciò? Cioè come si collega logicamente l'ipotesi alla tesi?
Nel caso di " se C è sottoinsieme di A e C è sottoinsieme di B, allora C è sottoinsieme di A intersecato B"? Questa è pure intuitiva, infatti se un elemento di C è sottoinsieme di A e di B, sarà anche sottoinsieme di A intersecato B, ma come è che si dimostra?
Grazie a chi risponderà, saluti.
"Dimostrare che se A è sottoinsieme di C e B è sottoinsieme di C, allora A unito B è sottoinsieme di C". Come si procede per dimostrare ciò? Cioè come si collega logicamente l'ipotesi alla tesi?
Nel caso di " se C è sottoinsieme di A e C è sottoinsieme di B, allora C è sottoinsieme di A intersecato B"? Questa è pure intuitiva, infatti se un elemento di C è sottoinsieme di A e di B, sarà anche sottoinsieme di A intersecato B, ma come è che si dimostra?
Grazie a chi risponderà, saluti.
Risposte
Teorema. $A subseteq C$, $B subseteq C => A uu B subseteq C$.
Dim. Dalle ipotesi si ricava che $forall a in A => a in C$ e $forall b in B => b in C$. Considero $A uu B = {x|x in A vv x in B}$: ma ogni elemento che sta in A o in B sta anche in C. Per cui $A uu B subseteq C$, che è la tesi.
Se proprio vuoi essere formale, allora dici: $x in A vv x in B$ è come dire - grazie alle ipotesi - $x in C vv x in C$: "ovviamente" (o 2 è pari o 2 è pari: che cosa segue?
) segue che $x in C$, e quindi ogni elemento di $A uu B$ sta anche in C.
Chiaro?
Lascio a te l'altro.
Dim. Dalle ipotesi si ricava che $forall a in A => a in C$ e $forall b in B => b in C$. Considero $A uu B = {x|x in A vv x in B}$: ma ogni elemento che sta in A o in B sta anche in C. Per cui $A uu B subseteq C$, che è la tesi.
Se proprio vuoi essere formale, allora dici: $x in A vv x in B$ è come dire - grazie alle ipotesi - $x in C vv x in C$: "ovviamente" (o 2 è pari o 2 è pari: che cosa segue?
) segue che $x in C$, e quindi ogni elemento di $A uu B$ sta anche in C. Chiaro?
Lascio a te l'altro.
"Paolo90":
Teorema. $A subseteq C$, $B subseteq C => A uu B subseteq C$.
Dim. Dalle ipotesi si ricava che $forall a in A => a in C$ e $forall b in B => b in C$. Considero $A uu B = {x|x in A vv x in B}$: ma ogni elemento che sta in A o in B sta anche in C. Per cui $A uu B subseteq C$, che è la tesi.
Se proprio vuoi essere formale, allora dici: $x in A vv x in B$ è come dire - grazie alle ipotesi - $x in C vv x in C$: "ovviamente" (o 2 è pari o 2 è pari: che cosa segue?
Chiaro?
Lascio a te l'altro.
Un po' più di prima sì... grazie
Anche se qualcuno potrebbe definirlo un puro esercizio di stile, eccone la dimostrazione col calcolo dei predicati.
$[(x in A implies x in C) ^^^ (x in B implies x in C)] iff [(x notin A vee x in C) ^^^ (x notin B vee x in C)] iff$
$iff [((x notin A vee x in C) ^^^ x notin B)vee((x notin A vee x in C)^^^ x in C)] iff [((x notin A ^^^ x notin B) vee (x notin B ^^^ x in C)) vee ((x \notin A ^^^ x in C) vee (x in C))] iff$
$iff [(x notin A ^^^ x notin B) vee (x in C)] iff [neg(x in A vee x in B) vee (x in C)] iff [x in A cup B implies x in C]$
$[(x in A implies x in C) ^^^ (x in B implies x in C)] iff [(x notin A vee x in C) ^^^ (x notin B vee x in C)] iff$
$iff [((x notin A vee x in C) ^^^ x notin B)vee((x notin A vee x in C)^^^ x in C)] iff [((x notin A ^^^ x notin B) vee (x notin B ^^^ x in C)) vee ((x \notin A ^^^ x in C) vee (x in C))] iff$
$iff [(x notin A ^^^ x notin B) vee (x in C)] iff [neg(x in A vee x in B) vee (x in C)] iff [x in A cup B implies x in C]$
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