Dimostrazione utilizzato il teorema sulla somma degli angoli interni di un triangolo e il teorema della mediana relativa all'ipotenusa.
1) sia ABC un triangolo. Traccia l' altezza CH e la retta r perpendicolare al lato AC, passante per C. La bisettrice dell'angolo BAC incontra CH nel punto D e la retta r nel punto E.
a)Dimostra che il triangolo CDE è isoscele sulla base DE.
b)Determina quale deve essere l'ampiezza dell'angolo BAC affinché il triangolo CDE risulti equilatero.
2)Dal vertice A di un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, conduci la semiretta di origine A, parallela a BC, che giace nel semipiano di origine AB a cui non appartiene C. Sia P un punto appartenente a tale semiretta e Q un punto appartenente alla semiretta opposta. Indicato con M il punto medio di BC, dimostra che AB è la bisettrice dell'angolo PAM e AC è la bisettrice dell'angolo QÂM.
3)in un triangolo rettagolo ABC, sia AH l'altezza relativa all'ipotenusa BC. detto M il punto medio di AB e N il punto medio di AC dimostra che l'angolo MHN è un angolo retto.
GRAZIE MILLE
a)Dimostra che il triangolo CDE è isoscele sulla base DE.
b)Determina quale deve essere l'ampiezza dell'angolo BAC affinché il triangolo CDE risulti equilatero.
2)Dal vertice A di un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa BC, conduci la semiretta di origine A, parallela a BC, che giace nel semipiano di origine AB a cui non appartiene C. Sia P un punto appartenente a tale semiretta e Q un punto appartenente alla semiretta opposta. Indicato con M il punto medio di BC, dimostra che AB è la bisettrice dell'angolo PAM e AC è la bisettrice dell'angolo QÂM.
3)in un triangolo rettagolo ABC, sia AH l'altezza relativa all'ipotenusa BC. detto M il punto medio di AB e N il punto medio di AC dimostra che l'angolo MHN è un angolo retto.
GRAZIE MILLE
Risposte
Ciao Giulia!
Faccio una premessa, per l'esercizio 1 per ora non so dove sbattere la testa, te lo dico con molta sincerità!
Parli di teorema relativo alla mediana dell'ipotenusa in un triangolo rettangolo. Non ne ricordo la formulazione specifica, ma posso ricapitolare i dettagli.
Partiamo da questo fatto:
Il triangolo iscritto in una circonferenza che ha come base il diametro è rettangolo (e il diametro, dunque, è l'ipotenusa). Detto in altre parole, un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza ha come ipotenusa il diametro.
Ricordo questa proprietà e aggiungo che, per ora, posso darti una mano solo nell'esercizio 3 perché la mia pausa pranzo è brevina e il 2 necessita di un discorso più lungo.
Iniziamo a impostare il 3.
Sappiamo che per costruzione, il triangolo AHB è rettangolo perché AH è l'altezza (quindi perpendicolare) di AC. In esso abbiamo AM = HM proprio per la proprietà appena ricapitolata poco fa. AM e HM, infatti, sono due raggi della circonferenza circoscritta al triangolo AHB:
- AM perché metà del "diametro" AB (AB nel triangolo AHB è ipotenusa);
- HM perché l'angolo retto tocca tale circonferenza e M, essendo il punto medio di AB è il centro di tale circonferenza; un segmento che parte dal centro e tocca la circonferenza è il raggio.
Abbiamo quindi dimostrato che il triangolo AHM è isoscele di base AH.
E fino a qui credo di averti ricapitolato e/o dimostrato il teorema della mediana relativa all'ipotenusa che hai citato nel titolo. :pp
(L'ho solo adattato a questa situazione!)
Con un ragionamento pressoché identico, puoi considerare come triangolo rettangolo AHC e dimostrare che ANH è un triangolo isoscele di base AH.
Una volta che hai questi due triangoli isosceli, pensa che in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti...
... e prova a dirmi cosa puoi dedurre da questo. :hi
Faccio una premessa, per l'esercizio 1 per ora non so dove sbattere la testa, te lo dico con molta sincerità!
Parli di teorema relativo alla mediana dell'ipotenusa in un triangolo rettangolo. Non ne ricordo la formulazione specifica, ma posso ricapitolare i dettagli.
Partiamo da questo fatto:
Il triangolo iscritto in una circonferenza che ha come base il diametro è rettangolo (e il diametro, dunque, è l'ipotenusa). Detto in altre parole, un triangolo rettangolo inscritto in una circonferenza ha come ipotenusa il diametro.
Ricordo questa proprietà e aggiungo che, per ora, posso darti una mano solo nell'esercizio 3 perché la mia pausa pranzo è brevina e il 2 necessita di un discorso più lungo.
Iniziamo a impostare il 3.
Sappiamo che per costruzione, il triangolo AHB è rettangolo perché AH è l'altezza (quindi perpendicolare) di AC. In esso abbiamo AM = HM proprio per la proprietà appena ricapitolata poco fa. AM e HM, infatti, sono due raggi della circonferenza circoscritta al triangolo AHB:
- AM perché metà del "diametro" AB (AB nel triangolo AHB è ipotenusa);
- HM perché l'angolo retto tocca tale circonferenza e M, essendo il punto medio di AB è il centro di tale circonferenza; un segmento che parte dal centro e tocca la circonferenza è il raggio.
Abbiamo quindi dimostrato che il triangolo AHM è isoscele di base AH.
E fino a qui credo di averti ricapitolato e/o dimostrato il teorema della mediana relativa all'ipotenusa che hai citato nel titolo. :pp
(L'ho solo adattato a questa situazione!)
Con un ragionamento pressoché identico, puoi considerare come triangolo rettangolo AHC e dimostrare che ANH è un triangolo isoscele di base AH.
Una volta che hai questi due triangoli isosceli, pensa che in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti...
... e prova a dirmi cosa puoi dedurre da questo. :hi
Grazie! ma non riesco ad arrivare in fondo la prima parte mi torna.
Se ANH è isoscele sulla base AH e AMH è isoscele sulla base AH, abbiamo, per gli angoli, NAH=NHA e MAH=MHA e questo l'ho accennato anche prima.
Ma allora NAH+MAH=NHA+MHA dalle due relazioni precedenti... :dozingoff
Inizio, intanto, a lanciarti delle idee per l'esercizio 2, prima comunque finisci il 3.
Come detto prima, il discorso sul 2 è davvero, ma davvero lungo.
Intanto posso dirti di tracciare ME parallela a AB (E è il punto in cui incontra la semiretta dalla parte di piano dove sta Q) e di tracciare MF parallela a AC (F è il punto in cui incontra la semiretta dalla parte di piano dove sta P).
Visto che devi dimostrare delle proprietà che riguardano degli angoli e, non dei lati, ti faccio notare che, per gli angoli, PAM=FAM e QAM=EAM. In altre parole, se riesci a cavare qualcosa per gli angoli FAM e EAM, puoi riportarle ai precedenti.
Intanto ti lascio il disegno e questa idea, magari dal disegno prendi spunto. Posso dunque dirti cosa vedi, in altre parole, una volta tracciati questi due lati, cosa puoi dire di bello? Cosa ti viene in mente?
Buttati, non preoccuparti, meglio che fai tentativi e che provi ad arrivare alla soluzione!
Ma allora NAH+MAH=NHA+MHA dalle due relazioni precedenti... :dozingoff
Inizio, intanto, a lanciarti delle idee per l'esercizio 2, prima comunque finisci il 3.
Come detto prima, il discorso sul 2 è davvero, ma davvero lungo.
Intanto posso dirti di tracciare ME parallela a AB (E è il punto in cui incontra la semiretta dalla parte di piano dove sta Q) e di tracciare MF parallela a AC (F è il punto in cui incontra la semiretta dalla parte di piano dove sta P).
Visto che devi dimostrare delle proprietà che riguardano degli angoli e, non dei lati, ti faccio notare che, per gli angoli, PAM=FAM e QAM=EAM. In altre parole, se riesci a cavare qualcosa per gli angoli FAM e EAM, puoi riportarle ai precedenti.
Intanto ti lascio il disegno e questa idea, magari dal disegno prendi spunto. Posso dunque dirti cosa vedi, in altre parole, una volta tracciati questi due lati, cosa puoi dire di bello? Cosa ti viene in mente?
Buttati, non preoccuparti, meglio che fai tentativi e che provi ad arrivare alla soluzione!
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