Dimostrazione unica radice reale per un'equazione

[Alvis1]

Salve a tutti,

stavo facendo un pò di quesiti dell'esame di stato; mi sono imbattuto in questa equazione molto semplice: 2x^3 -3x^2 +6x +6=0;

devo dimostrare che ammette un'unica radice reale; mi sono mosso così, ho trovato il limite per -infinito che esce -infinito e il limite per +infinito che esce +infinito, quindi ho dedotto che interseca l'asse x in almeno un punto; in seguito ho trovato la derivata seconda che è sempre maggiore di zero pertanto essendo sempre crescente non può che avere un'unica soluzione reale.

E' giusto questo tipo di procedimento?

Grazie

[Seneca1]

"Alvis":... la derivata seconda che è sempre maggiore di zero pertanto essendo sempre crescente ...

Mi spieghi il passaggio logico che hai seguito?

[Alvis1]

Si, ho trovato la derivata seconda che è la seguente: 6x^2 -6x +6 ; è maggiore di zero per ogni x appartenente ad R quindi significa che la funzione è sempre crescente, se è sempre crescente ed interseca l'asse x in un punto, quello non può che essere l'unico, considerando che si ha a che fare con un polinomio, che è una funzione continua.

[Seneca1]

Veramente il fatto che la derivata seconda sia ovunque positiva significa che la funzione è convessa.

[Alvis1]

chiedo scusa, ho sbagliato a scrivere, ovviamente intendevo la derivata prima

[Seneca1]

D'accordo, ciò è sufficiente per concludere che la radice è unica.

[andrs1]

Ma non bisogna considerare anche il teorema di Bolzano(o degli zeri)?Secondo me non è sufficiente dire che è crescente perchè potrebbe anche non intersecare l'asse,sbaglio?

[Seneca1]

"andrs":Ma non bisogna considerare anche il teorema di Bolzano(o degli zeri)?Secondo me non è sufficiente dire che è crescente perchè potrebbe anche non intersecare l'asse,sbaglio?

La considerazione fatta da Alvis riguardante i limiti all'infinito, con i dovuti aggiustamenti (bisogna tirare in ballo il teorema della permanenza del segno e il teorema degli zeri), garantisce che un polinomio di terzo grado (qualsiasi) ammette almeno una radice reale.

[andrs1]

ok,non avevo letto la parte iniziale scritta da Alvis.