Dimostrazione uguaglianza tra due insiemi

[Shocker1]

Buonasera e buon anno a tutti.

Devo dimostrare che:

$[a, b]$ = $nnn_{n = 1}^oo$ $(a - 1/n, b]$ con $n in NN, a,b in RR$

Ho osservato(un'osservazione un po' inutile) che:

$[a,b] sub (a - 1/n, b], AA n in NN$ perché $a - 1/n < a$, $AA a in RR, AA n in NN$

Per dimostrare l'uguaglianza devo provare la doppia inclusione tra gli insiemi $[a, b]$ e $nnn_{n = 1}^oo$ $(a - 1/n, b]$ ma non ho proprio idee.
Chiedo lumi.

[_admin]

Mi pare che hai provato l'inclusione opposta a quella che hai indicato.
Che classe fai?

[Shocker1]

Ciao e grazie per la risposta.

"Admin":Mi pare che hai provato l'inclusione opposta a quella che hai indicato.
Che classe fai?

No, ho provato che $[a, b] sub (a - 1/n, b]$ per ogni $n in NN^+$ e per ogni $a in RR$. Perché non sei d'accordo?
Faccio il quarto liceo scientifico.

Comunque, ho fatto qualche piccolo passo avanti nell'esercizio.

Sia $I_1 = [a, b]$ e $I_2 = nnn_{n=1}^oo (a-1/n, b]$, $I_2$ lo possiamo scrivere come $(nnn_{n = 1}^oo (a - 1/n, a) )uu[a, b]$. Quindi basta dimostrare che $nnn_{n = 1}^oo (a - 1/n, a)$ è un insieme vuoto. Ho azzardato una piccola dimostrazione(probabilmente sbagliata):

sia $P = nnn_{n = 1}^oo (a - 1/n, a)$, $P$ è un insieme vuoto perché non esiste alcun $c in RR$ tale che $c in P$.
Supponiamo che $P$ non sia vuoto. Allora esso sarà costituito da punti $c$ tali che $a - 1/n < c < a$ per ogni $n in NN$, ma $P$ è l'intersezione infinita degli intervalli aperti $(a - 1/n, a)$ per cui basta prendere un $n > 1/(a-c)$ per escludere $c$ da $P$. Infine, l'unico numero che è sempre maggiore di $a - 1/n$, indipendentemente da $n$, è $a$ ma $a$ non appartiene all'insieme $P$ per cui $P$ è vuoto.

Spero di non aver scritto grandi cavolate.

Buona serata.

[Zero87]

"Shocker":Faccio il quarto liceo scientifico.

Io vengo dal PNI e la cosa più difficile che facevo in quarto liceo erano le tavole di verità di logica...
Adesso hanno messo in programma l'induzione e se si fanno anche ste cose qua[nota]Qualcuno fa anche le trasformate di Laplace che (personalmente) non le ho fatte neanche all'università. [/nota] sarà più difficile il liceo che l'università.

Tuttavia unioni e intersezioni infinite non dovrebbero essere programma da liceo perché serve parecchia elasticità mentale e astrattismo. La stessa che serve nella matematica dell'infinito.

Premetto che secondo me è giusto come hai fatto nel primo post: se $[a,b] \subseteq (a-1/n,b]$ per ogni $n$ allora appartiene anche all'intersezione. Se non erro vale per tutte le intersezioni questo fatto, anche quelle infinite.

Anche il tuo ultimo post mi convince, ma non del tutto: non tanto nell'idea ma nella forma.

Per dimostrare l'inclusione opposta, avrei scritto qualcosa del tipo: supponiamo per assurdo che non valga, allora non esiste nessun $c\in \cap ...$ tale che $c\in [a,b]$.
Prendiamo tale $c$, abbiamo che, dunque non appartiene all'intervallo $[a,b]$ ma allora $cb$ per costruzione. Il secondo caso lo escludo a priori semplicemente perché l'estremo che dà noia è il primo, il secondo resta invariato nell'intersezione infinita. Quindi abbiamo $c Ma allora $a-1/n +\infty$ si ottiene $a\le c
Dunque si ha anche l'implicazione opposta e quindi l'uguaglianza. Ripeto, però, che mi sembra un po' troppo elementare perché tutte le dimostrazioni che ho visto o con cui ho avuto a che fare con unioni e intersezioni infinite (analisi III), tutt'erano tranne che facili.

Oltre a concludere con un buon 2014 - oggi è il 2, magari da domani diventa ridicolo ripeterlo - anche io ho la vaga idea di aver scritto cavolate perché il mio ragionamento è identico al tuo ma con una forma differente.

[_admin]

Francamente sono disorientato anche io dall'esercizio. Intersezioni infinte non sono cose facili da maneggiare.
Il problema credo stia nel vedere se "a" appartiene all'intersezione che hai indicato.
Probabilmente basta dimostrare che a>a-1/n per ogni n naturale, di conseguenza starà nell'intersezione.
Fammi sapere da quale libro hai preso questo esercizio.

[Shocker1]

Ciao e grazie per le risposte.

@Zero87: faccio 4 ore di matematica e in classe abbiamo appena finito il programma di geometria analitica del 3° anno... non penso che avrò il privilegio di studiare a scuola la trasformata di laplace, anzi non so nemmeno se quest'anno faremo geometria nello spazio come si deve.

@Admin: ho preso l'esercizio dalla dispensa di analisi 1 del professore Acquistapace, pagina 13 es n°5. Ho provato a risolverlo perché gli argomenti trattati nelle prime 13 pagine della dispensa mi sono noti(ho anche letto queste 13 pagine)

[_admin]

In effetti come avevo immaginato stavi approfondendo da appunti per l'università. E' una buona idea, anche se poi bisogna entrare in un'ottica leggermente diversa di quella del liceo. Credo che l'osservazione dell'esercizio che hai iniziato a fare è che mentre l'intersezione di insiemi aperti può essere un insieme chiuso, l'unione di insiemi aperti è un aperto (nell'esercizio si parla di intervalli semiaperti). Cioè con l'intersezione riesci a raggiungere anche l'elemento "a" con l'unione invece non ce la fai. Nel caso dell'unione a è elemento comune a tutti gli insiemi che stai intersecando, nel secondo caso a non appartiene a nessuno degli elementi di cui devi fare l'unione. A mio avviso, la dispensa che hai consultato dà una presentazione un po' 'originale' dei numeri reali, che non è semplice da cogliere. L'esercizio finale su unioni infinite e intersezioni infinite mi sembra un po' al di là delle definizioni che ha dato, perché mentre ha dato la definizione dell'intervallo ]-inf,+inf[ non mi sembra che abbia detto cosa significa una unione infinita di insiemi. E' un argomento di topologia, secondo me bisognava dire che cosa significa unione per n che va a infinito, o forse bisognava dire per ogni n appartenente a N. Gli esercizi della dispensa mi sembra che tendano a verificare se uno studente ha capito come dagli assiomi che ha dato si possono dimostrare le proprietà dei numeri reali che non sono state inserite negli assiomi. Penso che siano finezze piuttosto difficili da cogliere per uno studente di liceo... però nessuno ti vieta di provarci. In bocca al lupo.

[Shocker1]

"Admin":In effetti come avevo immaginato stavi approfondendo da appunti per l'università. E' una buona idea, anche se poi bisogna entrare in un'ottica leggermente diversa di quella del liceo. [...] Gli esercizi della dispensa mi sembra che tendano a verificare se uno studente ha capito come dagli assiomi che ha dato si possono dimostrare le proprietà dei numeri reali che non sono state inserite negli assiomi. Penso che siano finezze piuttosto difficili da cogliere per uno studente di liceo... però nessuno ti vieta di provarci. In bocca al lupo.

In effetti alcuni esercizi sono un pochino tosti ma comunque proverò a risolverli . Crepi il lupo e grazie per la risposta!
Solo una cosa:

"Admin":Nel caso dell'unione a è elemento comune a tutti gli insiemi che stai intersecando

Qui intendevi intersezione e non unione, vero?

"Zero87":
Per dimostrare l'inclusione opposta, avrei scritto qualcosa del tipo: supponiamo per assurdo che non valga, allora non esiste nessun $c\in \cap ...$ tale che $c\in [a,b]$.
Prendiamo tale $c$, abbiamo che, dunque non appartiene all'intervallo $[a,b]$ ma allora $cb$ per costruzione. Il secondo caso lo escludo a priori semplicemente perché l'estremo che dà noia è il primo, il secondo resta invariato nell'intersezione infinita. Quindi abbiamo $c Ma allora $a-1/n +\infty$ si ottiene $a\le c

Riprendendo questo fatto possiamo dimostrare l'uguaglianza in modo più elegante(almeno secondo me):

$c in nnn_{n=1}^oo (a - 1/n, b] iff a - 1/n < c <= b$ per $n->+oo iff a <= c <=b iff c in [a,b]$

giusto?

Spero di non aver postato cavolate


Au revoir.

[Zero87]

"Shocker":Riprendendo questo fatto possiamo dimostrare l'uguaglianza in modo più elegante(almeno secondo me):

$c in nnn_{n=1}^oo (a - 1/n, b] iff a - 1/n < c <= b$ per $n->+oo iff a <= c <=b iff c in [a,b]$

giusto?

Non vedo perché sia sbagliato, ma, come detto, non mi stupirei se ci fosse qualche magagna. Ma non per qualche motivo particolare, semplicemente perché unioni e intersezioni infinite sono sempre da prendere con i guanti per via di proprietà strane che non trovano riscontro in casi più concreti.
Tuttavia potrei aggiungere - per i moderatori - di spostare questo thread in una sezione più adatta che magari riceve risposte migliori.

[CaMpIoN]

Prova con questa considerazione: se $a-\frac{1}{n} \(\displaystyle \left(\right.a-\frac{1}{n},b\left.\right]=\left(\right.a-\frac{1}{n},a\left.\right) \cup \left[a,b\right] \)

[Shocker1]

Ciao e grazie per le risposte.

"CaMpIoN":Prova con questa considerazione: se $a-\frac{1}{n} \(\displaystyle \left(\right.a-\frac{1}{n},b\left.\right]=\left(\right.a-\frac{1}{n},a\left.\right) \cup \left[a,b\right] \)

Mi pare di aver già fatto una considerazione del genere:

"Shocker":
Sia $I_1 = [a, b]$ e $I_2 = nnn_{n=1}^oo (a-1/n, b]$, $I_2$ lo possiamo scrivere come $(nnn_{n = 1}^oo (a - 1/n, a) )uu[a, b]$. Quindi basta dimostrare che $nnn_{n = 1}^oo (a - 1/n, a)$ è un insieme vuoto.

Ma forse non ho colto bene il tuo consiglio... potresti essere più preciso?

Grazie ancora!

Buona serata.

[CaMpIoN]

Se quell'insieme è vuoto l'unione con un secondo insieme è il secondo insieme singolo. Se fai questo ragionamento allora dall'intersezione ottiene il secondo intervallo.
Quindi ti basta porre vuoto l'e intersezioni di tutti quegli intervalli.

[Shocker1]

"CaMpIoN":Se quell'insieme è vuoto l'unione con un secondo insieme è il secondo insieme singolo. Se fai questo ragionamento allora dall'intersezione ottiene il secondo intervallo.
Quindi ti basta porre vuoto l'e intersezioni di tutti quegli intervalli.

Ciao e grazie della risposta.

E' esattamente quello a cui ho pensato e, qualche post fa, ho azzardato una piccola dimostrazione di questo fatto:

sia $P = nnn_{n = 1}^oo (a - 1/n, a)$, $P$ è un insieme vuoto perché non esiste alcun $c in RR$ tale che $c in P$.
Supponiamo che $P$ non sia vuoto. Allora esso sarà costituito da punti $c$ tali che $a - 1/n < c < a$ per ogni $n in NN$, ma $P$ è l'intersezione infinita degli intervalli aperti $(a - 1/n, a)$ per cui basta prendere un $n > 1/(a-c)$ per escludere $c$ da $P$. Infine, l'unico numero che è sempre maggiore di $a - 1/n$, indipendentemente da $n$, è $a$ ma $a$ non appartiene all'insieme $P$ per cui $P$ è vuoto.

Comunque l'uguaglianza si potrebbe direttamente dimostrare così:

"Shocker":

$c in nnn_{n=1}^oo (a - 1/n, b] iff a - 1/n < c <= b$ per $n->+oo iff a <= c <=b iff c in [a,b]$

da cui:
$nnn_{n=1}^oo (a - 1/n, b] = [a,b]$

Giusto?

Grazie ancora per la risposta, ciao