Dimostrazione uguaglianza (con num. fattoriali)
Salve a tutti... Sono bloccato su questo esercizio... sapete aiutarmi ?
devo dimostrare che:
$1*1! + 2*2! + ... + k*k! = (k+1)!-1 $
sostituendo a k un numero qualsiasi possiamo vedere che l'equazione è verificata. Tuttavia non riesco a dimostrarla.
Riesco solo a dire banalmente che
$(k-1)! = (k+1)*k!$
e che
$k*k! = k!*(k-1+1)! = ((k+1)*k!) - k! = (k+1)! - k! $
ma comunque non sono arrivato a nessuna conclusione!
Grazie in anticipo per chi riuscirà o proverà ad aiutarmi!
devo dimostrare che:
$1*1! + 2*2! + ... + k*k! = (k+1)!-1 $
sostituendo a k un numero qualsiasi possiamo vedere che l'equazione è verificata. Tuttavia non riesco a dimostrarla.
Riesco solo a dire banalmente che
$(k-1)! = (k+1)*k!$
e che
$k*k! = k!*(k-1+1)! = ((k+1)*k!) - k! = (k+1)! - k! $
ma comunque non sono arrivato a nessuna conclusione!
Grazie in anticipo per chi riuscirà o proverà ad aiutarmi!
Risposte
Suggerisco di dimostrarlo per induzione completa: indichi con $S_k$ il primo membro e verifichi che la formula è valida per k=1; supposto poi che la formula sia vera per un certo k (cioè accettando come vera la formula scritta) dimostri che lo è anche per il k successivo; nel tuo caso, calcoli $S_(k+1)=S_k+(k+1)(k+1)!$ e devi ottenere $(k+2)!-1$,
Suppongo che ci siano anche altri metodi, ma per ora non li vedo.
Suppongo che ci siano anche altri metodi, ma per ora non li vedo.
questa potrebbe essere una soluzione...però credo che in un compito in classe questo tipo di dimostrazione non sia del tutto valida... 
E perché? L'induzione completa è un normalissimo metodo matematico.
Si ma non credo che mi verrebbe accettato come metodo in un compito in classe! Comunque grazie...
@andrearupy
Devi cambiare il tuo avatar: secondo il regolamento le dimensioni massime sono di 169x169 pixel, il tuo ha dimensioni 250x231 pixel. Ridimensionale utilizzando le opzioni di ridimensionamento di ImageShack.
Devi cambiare il tuo avatar: secondo il regolamento le dimensioni massime sono di 169x169 pixel, il tuo ha dimensioni 250x231 pixel. Ridimensionale utilizzando le opzioni di ridimensionamento di ImageShack.
Quanto al problema: e perché non ti verrebbe considerato valido? Il metodo dell'induzione è uno dei metodi classici per la dimostrazione sugli elementi di [tex]\mathbb{N}[/tex].
Ma se proprio non ti piace indurre, puoi semplicemente dire che, fermo restando che [tex]k \cdot k!=(k+1)!-k![/tex], allora
[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^{k} i\cdot i!=1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+k\cdot k!=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+\cdots+((k+1)!-k!)=(k+1)!-1!=(k+1)!-1[/tex]
perché il secondo termine di tutte le parentesi tonde a partire dalla seconda si semplifica col primo della parentesi tonda successiva ed [tex]1!=1[/tex].
Ma se proprio non ti piace indurre, puoi semplicemente dire che, fermo restando che [tex]k \cdot k!=(k+1)!-k![/tex], allora
[tex]\displaystyle \sum_{i=1}^{k} i\cdot i!=1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+k\cdot k!=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+\cdots+((k+1)!-k!)=(k+1)!-1!=(k+1)!-1[/tex]
perché il secondo termine di tutte le parentesi tonde a partire dalla seconda si semplifica col primo della parentesi tonda successiva ed [tex]1!=1[/tex].
Non riesco a capire questa frase:
"" perché il secondo termine di tutte le parentesi tonde a partire dalla seconda si semplifica col primo della parentesi tonda successiva ""
Che significa??
"" perché il secondo termine di tutte le parentesi tonde a partire dalla seconda si semplifica col primo della parentesi tonda successiva ""
Che significa??
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