Dimostrazione (trapezio)
Ipotesi:
1. ABCD è un trapezio
2. AC e BD sono le sue diagonali
3. M ed N sono i punti medi delle diagonali
Tesi
MN è congruente alla semidifferenza delle basi
Ho provato ad applicare la congruenza dei segmenti corrispondenti di un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali ma non sono giunto a nulla di significativo.
Qualcuno mi da uno spunto per favore?
Grazie.
1. ABCD è un trapezio
2. AC e BD sono le sue diagonali
3. M ed N sono i punti medi delle diagonali
Tesi
MN è congruente alla semidifferenza delle basi
Ho provato ad applicare la congruenza dei segmenti corrispondenti di un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali ma non sono giunto a nulla di significativo.
Qualcuno mi da uno spunto per favore?
Grazie.
Risposte
Sia $ABCD$ il nostro trapezio. Siano $M,N$ i punti medi delle sue diagonali: e segnatamente sia $M$ il punto mediano di $AC$. Si uniscano $M$ e $N$. Inoltre, si conduca la retta $DM$: sia $M':=DM \cap AB$. Risulta $\Delta AM'M ~= \Delta CDM$ per ovvi motivi ($AM ~= MC$ per ipotesi, $DM ~= M M'$ come conseguenza del Teorema di Talete e $\angle CMD ~= \angle AM M'$), sicché $AM' ~= CD$ e, conseguentemente $M'B~=AB - CD$.
In $\Delta M'BD$ il segmento $MN$ congiunge i punti medi di due lati, quindi, per un noto Teorema, si ha la tesi: $MN~=frac{1}{2}M'B~=frac{1}{2}(AB-CD)$. $\square$
In $\Delta M'BD$ il segmento $MN$ congiunge i punti medi di due lati, quindi, per un noto Teorema, si ha la tesi: $MN~=frac{1}{2}M'B~=frac{1}{2}(AB-CD)$. $\square$
Grazie Wizard, chiarissimo come sempre.
C'è solo un punto che non comprendo, certamente per colpa mia. Quando dici:
(che io conosco come, il teorema del fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, ma credo sia la stessa cosa) ti riferisci alle parallele MN e M'B tagliate dalle trasversali DM' e DB. "Siccome DN ed NB sono congruenti e, in più, sono corrispondenti a DM ed MM', allora anche quest'ultimi sono congruenti". Giusto?
Ecco, se è così, mi sfugge l'affermazione per cui MN è parallelo ad M'B. Non andrebbe dimostrato?
Grazie.
C'è solo un punto che non comprendo, certamente per colpa mia. Quando dici:
DM≅MM' come conseguenza del teorema di Talete
(che io conosco come, il teorema del fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, ma credo sia la stessa cosa) ti riferisci alle parallele MN e M'B tagliate dalle trasversali DM' e DB. "Siccome DN ed NB sono congruenti e, in più, sono corrispondenti a DM ed MM', allora anche quest'ultimi sono congruenti". Giusto?
Ecco, se è così, mi sfugge l'affermazione per cui MN è parallelo ad M'B. Non andrebbe dimostrato?
Grazie.
"alfredo":
Grazie Wizard, chiarissimo come sempre.
C'è solo un punto che non comprendo, certamente per colpa mia. Quando dici:
DM≅MM' come conseguenza del teorema di Talete
(che io conosco come, il teorema del fascio di rette parallele tagliate da due trasversali, ma credo sia la stessa cosa) ti riferisci alle parallele MN e M'B tagliate dalle trasversali DM' e DB. "Siccome DN ed NB sono congruenti e, in più, sono corrispondenti a DM ed MM', allora anche quest'ultimi sono congruenti". Giusto?
Ecco, se è così, mi sfugge l'affermazione per cui MN è parallelo ad M'B. Non andrebbe dimostrato?
Grazie.
Ma non ti serve quel dato per dimostrare la congruenza dei triangoli $AM'M$ $CDM$, è sufficiente avere $AM≅MC$ per ipotesi e gli angoli e$∠CMD≅∠AMM'$ e $∠M'AM ≅ ∠MCD$. Da cui poi si ricava e che $DM≅MM'$
Il Teorema di Talete è invertibile. Prova a dimostrarlo.
Rimane il fatto che non serve scomodare Talete, per dimostrare l'uguaglianza di quei triangoli, è sufficiente il secondo criterio di Euclide
Il problema è che non si può usare Euclide in quanto a questo punto del programma non è ancora noto. Talete invece lo è.
Comunque provo a dimostrare l'invertibilità come suggerito da Wizard.
Grazie a tutti.
Comunque provo a dimostrare l'invertibilità come suggerito da Wizard.
Grazie a tutti.
non avete fatto i criteri di uguaglianza dei triangoli? Non capisco, mesà che mi sono perso qualche cosa. Scusate se sono intervenuto a sproposito.
Nessun problema.
Credo che per nontrivialzero il secondo criterio di Euclide sia il secondo criterio di congruenza tra triangoli, mentre per alfredo il secondo criterio di Euclide è il secondo Teorema di Euclide.
A parte questo, ovviamente, come dice nontrivialzero, si può anche non ricorrere a Talete: l'ho fatto perché a questo Teorema fa riferimento alfredo nel suo primo intervento.
A parte questo, ovviamente, come dice nontrivialzero, si può anche non ricorrere a Talete: l'ho fatto perché a questo Teorema fa riferimento alfredo nel suo primo intervento.
Credo che per nontrivialzero il secondo criterio di Euclide sia il secondo criterio di congruenza tra triangoli,
non lo sapevo: buono a sapersi.
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