Dimostrazione trapezi

[allessiaa00]

In un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, traccia le mediane AM e BN .dimostra che ARMN è un trapezio isoscele

[Zero87]

Ciao, in realtà il problema è più semplice di quanto voglia farci credere.

Cerco di aiutarti, dandoti un buon di partenza, che deriva dalle proprietà stesse del triangolo ABC (isoscele sulla base AB). In ABC:
- gli angoli alla base sono congruenti;
- AC = BC;
- essendo M e N i punti medi di BC e AC, hai che BM = MC e AN = NC, ma se sono congruenti AC e BC, sono congruenti anche le loro metà.

Fino a qui hai che ABMN è una figura con gli angoli alla base congruenti e i lati obliqui congruenti. Non ricordo se basta per definirlo trapezio isoscele - potresti saperlo meglio di me se stai studiando queste cose, il liceo l'ho terminato nel 2006 -, ma puoi andare avanti e dimostrare che le due basi sono parallele tra loro.

[mathlover24]

Ciao @alleessiaa00, sei sicura di aver scritto correttamente il quesito? Il punto R non è stato definito.
Per il resto, hai provato a risolvere il problema? Quali sono state le difficoltà che hai riscontrato?

[Zero87]

mathlover24 :
Ciao @alleessiaa00, sei sicura di aver scritto correttamente il quesito? Il punto R non è stato definito.

Ciao!
Personalmente ho dato per scontato che "R" fosse una svista per "B". Vediamo cosa ci dice l'utente.

[teopoli0609]

Ciao @allessiaa00, innanzitutto consideriamo un triangolo isoscele ABC, con AB come base e AC = BC. Tracciamo le mediane AM e BN, dove M è il punto medio di BC e N è il punto medio di AC. Vogliamo dimostrare che il quadrilatero ARMN è un trapezio isoscele.

Hai 4 modi per risolverlo:

Proprietà delle mediane in un triangolo isoscele:
Le mediane in un triangolo isoscele che partono dai vertici A e B, cioè le mediane AM e BN, sono uguali in lunghezza. Questo perché nel triangolo isoscele ABC, i lati AC e BC sono uguali, quindi i segmenti AM e BN, essendo mediane tracciate dai vertici opposti ai lati congruenti, hanno la stessa lunghezza. Quindi:
AM = BN

Proprietà dei punti medi:
Poiché M è il punto medio di BC e N è il punto medio di AC, i segmenti RM e AN sono paralleli. Questo è una conseguenza della proprietà dei punti medi nei triangoli: in ogni triangolo, il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo alla base (terzo lato).

Parallellismo:
Dato che RM è parallelo a AN, possiamo dire che ARMN è un trapezio, poiché una coppia di lati opposti sono paralleli.

Isoscelità del trapezio:
Abbiamo già stabilito che AM = BN, cioè le mediane del triangolo sono uguali. Per dimostrare che il trapezio è isoscele, dobbiamo dimostrare che i lati non paralleli AR e MN sono uguali. Questo segue dal fatto che il triangolo ABC è isoscele e i punti M e N sono i punti medi dei lati BC e AC, rispettivamente. Poiché i segmenti AM e BN sono congruenti e tracciati simmetricamente rispetto alla base AB, anche i lati AR e MN sono uguali:
AR = MN

Fammi sapere se hai risolto e buona giornata!