Dimostrazione teorema degli zeri

[miik91]

Salve a tutti. Sto studiando il teorema degli zeri e vorrei cercare di capire la dimostrazione. L ho trovata su diversi siti, ma c è sempre qualcosa che non mi convince. Qualcuno potrebbe spiegarmela in maniera chiara??

[aleio1]

Allora il teorema afferma che:

Sia

[math]f(x): \ [a,b]\rightarrow\mathbb{R}[/math]

continua.

Sia inoltre [math]f(a)\cdot f(b)

[miik91]

beh si però mi servirebbe una spiegazione più tecnica in quanto potrebbero chiedermela all orale di analisi e credo che difficilmente acetterebbero una spiegazione così ( per quanto tu non abbia detto nulla di sbagliato ovviamente). Pensate che potrebbe andare bene se dimostrato con il metodo di dicotomia?? o non è sufficiente??

[aleio1]

ah ma sei all'uni? allora la dimostrazione topologica su wikipedia è abbastanza comprensibile..pensavo fossi al liceo..

[miik91]

si ma l ho capita però volevo una spiegazione un po più semplice qui perkè c è qualcosa che non mi è chiaro.

[aleio1]

Allora ti spiego un po' cercando di semplificare quello che dice wikipedia.

Supponiamo per assurdo che la funzone sia sempre diversa da 0 nell'intervallo

[math][a,b][/math]

e costruiamo l'insieme dei valori di x appartenenti ad

[math][a,b][/math]

tali che

[math]f(x)0[/math]

) considera un intorno sinistro aperto di

[math]x_0[/math]

. Per ogni

[math]x_2[/math]

appartenente a tale intorno devi avere (sempre per l'ipotesi di continuità in

[math][a,b][/math]

e dunque per il teorema di permanenza del segno) che la funzione valutata in quel punto sia maggiore di 0. Ma anche questo è un assurdo perchè ogni elemento che appartiene a quell'intorno è minore di

[math]x_0[/math]

e sempre per la definizione di estremo superiore ha che ogni elemento minore dell'estremo superiore di un insieme non è un maggiorante. E se

[math]x_2[/math]

non è un maggiorante di

[math]E[/math]

allora [math]f(x_2)