Dimostrazione su integrali e funzioni pari o dispari.
Salve,
Come si dimostra che, se una funzione f(x) integrabile in ogni intervallo $[a,b] in RR$,
allora
$ \int_{-a}^{0} f(x)\ dx= \int_{0}^{a} f(x)\ dx $ se la funzione $f(x)$ è pari.
allora
$ \int_{-a}^{0} f(x)\ dx= -\int_{0}^{a} f(x)\ dx $ se la funzone $f(x)$ è dispari.
?
Come si dimostra che, se una funzione f(x) integrabile in ogni intervallo $[a,b] in RR$,
allora
$ \int_{-a}^{0} f(x)\ dx= \int_{0}^{a} f(x)\ dx $ se la funzione $f(x)$ è pari.
allora
$ \int_{-a}^{0} f(x)\ dx= -\int_{0}^{a} f(x)\ dx $ se la funzone $f(x)$ è dispari.
?
Risposte
Prova a fare una sostituzione, al posto di $x$ ci metti $-t$ e svolgi i calcoli.
Ho provato per la funzione pari, e pongo $x=-t$
$ \int_{-a}^{0} f(x)\ dx= \int_{0}^{a} f(x)\ dx $
Allora
$ \int_{a}^{0} (-f(-t))\ dt= \int_{0}^{a} f(x)\ dx $
Quindi
$ \int_{0}^{a} (f(t))\ dt= \int_{0}^{a} f(x)\ dx $
E poi non so come andare avanti.
$ \int_{-a}^{0} f(x)\ dx= \int_{0}^{a} f(x)\ dx $
Allora
$ \int_{a}^{0} (-f(-t))\ dt= \int_{0}^{a} f(x)\ dx $
Quindi
$ \int_{0}^{a} (f(t))\ dt= \int_{0}^{a} f(x)\ dx $
E poi non so come andare avanti.
Spiego meglio il suggerimento che avevo dato l'altra volta, facendo il caso della funzione pari: $\int_{-a}^0f(x)dx$ ponendo $x=-t$ si ha: $\int_{a}^0-f(-t)dt=-\int_{a}^0f(t)dt=\int_{0}^af(t)dt$, quindi tornando all'integrale di partenza $\int_{-a}^af(x)dx= \int_{-a}^0f(x)dx+\int_{0}^af(x)dx=\int_{0}^af(x)dx+\int_{0}^af(x)dx=2\int_{0}^af(x)dx$.
Il caso della funzione dispari prova a farlo tu.
Il caso della funzione dispari prova a farlo tu.
Ancora però non capisco in base a che relazione/proprietà sostituisci
$\int_{-a}^0f(x)dx=\int_{0}^af(x)dx $
Non capisco proprio l'ultimo passaggio. Ho capito la sostituzione ma poi non vedo dove porti.
$\int_{-a}^0f(x)dx=\int_{0}^af(x)dx $
Non capisco proprio l'ultimo passaggio. Ho capito la sostituzione ma poi non vedo dove porti.
"otta96":
$\int_{-a}^0f(x)dx$ ponendo $x=-t$ si ha: $\int_{a}^0-f(-t)dt=-\int_{a}^0f(t)dt=\int_{0}^af(t)dt$
Faccio quella sostituzione perché ho dimostrato prima che posso farlo, quella che ho citato ne è la dimostrazione.
Grazie della pazienza. Mi ci è voluto un po' ma alla fine ho capito.
Prego, visto che ci sei prova a scrivere il caso di funzioni dispari.
$ \int_{-a}^{0} f(x)\ dx= -\int_{0}^{a} f(x)\ dx $
Pongo $x=-t$
$dx=-dt$
$ \int_{-a}^{0} f(x)\ dx= \int_{a}^{0} f(-t)\ (-dt)= +\int_{a}^{0} f(t)\ dt$
Segue che:
$+\int_{a}^{0} f(t)\ dt=-\int_{0}^{a} f(x)\ dx $
$dx=-dt$
$+\int_{0}^{a} (-f(t))\ dt=\int_{0}^{a} f(x)\ dt $
$+\int_{0}^{a} (-f(t)-f(x))\ dt=0$
$x=-t$
$+\int_{0}^{a} (-f(t)-f(-t))\ dt=0$
$+\int_{0}^{a} (-f(t)+f(+t))\ dt=0$
$+\int_{0}^{a} (0)\ dt=0$
Che è vero e quindi la prima è dimostrata.
Pongo $x=-t$
$dx=-dt$
$ \int_{-a}^{0} f(x)\ dx= \int_{a}^{0} f(-t)\ (-dt)= +\int_{a}^{0} f(t)\ dt$
Segue che:
$+\int_{a}^{0} f(t)\ dt=-\int_{0}^{a} f(x)\ dx $
$dx=-dt$
$+\int_{0}^{a} (-f(t))\ dt=\int_{0}^{a} f(x)\ dt $
$+\int_{0}^{a} (-f(t)-f(x))\ dt=0$
$x=-t$
$+\int_{0}^{a} (-f(t)-f(-t))\ dt=0$
$+\int_{0}^{a} (-f(t)+f(+t))\ dt=0$
$+\int_{0}^{a} (0)\ dt=0$
Che è vero e quindi la prima è dimostrata.
Non si capisce molto bene che calcoli stai facendo.
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