Dimostrazione somma n numeri dispari

[Shruikan1]

Buon pomeriggio !

Sto cercando di dimostrare il teorema che afferma:
La somma dei primi n numeri dispari vale:
$1 + 3 + \ldots + (2n -1) = n^2 $

Allora inizio ponendo $ S = 1 + 3 + \ldots + (2n - 1) $ dunque $ S = (2n - 1) + \ldots + 3 + 1 $.
Sommando le rispettive coppie ottengo che:

$ 2S = 2n + 2n + \ldots + 2n = 2n^2 $

Ed è la parte della dimostrazione che non mi torna. Una volta ottenuto che $ 2S = 2n^2 $ basta dividere per 2 per confermare la tesi.
Per me $ 2S = 1 + 3 +\ldots + (2n - 1) + (2n - 1) + \ldots + 3 + 1 $ che non porta al risultato finale.

[Indrjo Dedej]

Conosci il principio di induzione? Comunque ho capito come viene condotta la dimostazione: prima viene riscritta con gli addendi disposti in ordine crescente e poi in ordine decrescente. In altre parole puoi costruire questo schema
1 + 3 + 5 +...+ (2n-5) + (2n-3) + (2n-1)
(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+...+ 5 + 3 + 1 .

Ora la somma dei numeri che si trovano sulla stessa colonna è 2n, poi ...

[kobeilprofeta]

nel tuo caso devi fare
$2S=[1+(2n-1)]+[2+(2n-2)]+[3+(2n-3)]+...=2n+2n+...+2n=2n*n=2n^2$

[kobeilprofeta]

Comunque ti posso proporre almeno altri due metodi per dimostrarlo

METODO 1, induzione

verifico per n=1
$\sum_{k=1}^n (2k-1)=sum_{k=1}^1 (2k-1)= 1= 1^2$ ok
suppongo vera per n-1 e dimostro per n:
suppongo quindi che $\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)=(n-1)^2=n^2-2n+1$ e aggiungo 2n-1 ad entrambi i membri: $[\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)]+ (2n-1)=[n^2-2n+1]+(2n-1)$ quindi la tesi.

METODO 2, sapendo che $\sum_{i=1}^n i=frac{n^2+n}{2}$

$\sum_{k=1}^n (2k-1)=2*\sum_{k=1}^n k-\sum_{k=1}^n 1=2*frac{n^2+n}{2}-n=n^2$

[Shruikan1]

Buongiorno !
Con la mente fresca sono riuscito a risolverlo abbastanza brevemente applicando il metodo di kobeilprofeta.
Il metodo di induzione è spiegato nelle pagine successive quindi lo studierò oggi (se ci riesco).

Ecco la mia soluzione:
Ponendo $ S = 1 + 3 + \ldots + (2n - 5) + (2n - 3) + (2n -1) $ invertendo gli addendi si ha che:
$ S = (2n - 1) + (2n - 3) + (2n - 5) + \ldots + 3 +1 $

Sommando a coppie i rispettivi addendi si ottiene questa espressione:
$2S = [1 + (2n - 1)] + [3 + (2n - 3)] + [5 + (2n - 5)] + \ldots + [5 + (2n - 5)] + [3 + (2n - 3)] + [1 + (2n - 1)] = 2n + 2n + \ldots + 2n + 2n = 2n * n = 2n^2 $

Questo perché ci sono n addendi.
A questo punto si ha:
$ 2S = 2n^2 $ Dividendo per 2 entrambi i membri si trova finalmente la tesi:
$ S = 1 + 3 + \ldots + (2n - 1) = n^2 $